Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 78 стр.

        Задание 20. Задача о полете снаряда-1.


   1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим полет снаряда, выпущен-
ной с начальной скоростью v под углом θ0 к горизонту, при следую-
щих предположениях:
  • сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-
    сти снаряда;
  • дальность полета снаряда не превышает 10 км;
  • боковой ветер отсутствует.
При сделанных допущениях можно считать, что земля плоская и вся
траектория снаряда лежит в одной плоскости xOy. Уравнения дви-
жения центра масс снаряда в проекциях на оси координат запишутся
в виде
                   x′′ = −CρSv 2 cos(θ)/2m,
                                                             (1)
                   y ′′ = −CρSv 2 sin(θ)/2m − g,
Здесь m — масса снаряда, v = (x′2 +y ′2 )1/2 — скорость движения, θ =
arctg(y ′ /x′ ) — угол между касательной к траектории и осью Ox, g —
ускорение силы тяжести, S — площадь поперечного сечения снаряда,
ρ — плотность воздуха, C — коэффициент лобового сопротивления
снаряда.
    Уравнения (1) дополняются начальными условиями

              x(0) = 0, y(0) = 0, θ(0) = θ0 , v(0) = v0 .                    (2)

    2. Преобразование уравнений. Для численного решения удоб-
но преобразовать два уравнения 2-го порядка (1) к системе четырех
уравнений 1-го порядка. Дифференцируя соотношения

                       x′ = v cos(θ),     y ′ = v sin(θ),                    (3)

имеем

        x′′ = v ′ cos(θ) − v sin(θ)θ′ ,   y ′′ = v ′ sin(θ) + v cos(θ)θ′ .