Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Оптимизация вертикального подъема ракеты. 77
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ k
2
)/2.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= y
1
/(2 + 2t) − 2ty
2
, y
′
2
= y
2
/(2 + 2t) + 2ty
1
,
на отрезке [0, 2] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t
2
)
√
1 + t, y
2
= sin(t
2
)
√
1 + t.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
2
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решая систему уравнений движения ракеты при помощи разрабо-
танной процедуры, исследовать зависимость высоты полета от вре-
мени на интервале (0, T ), T = 100 при различном выборе шага сетки
h. Результаты расчетов оформить в виде графиков z = z(t).
Исходные данные [1,2]:
g = 0.01, α = 2, C = 0.05, γ = 0.01, m
T
= 0.8, t
s
= 20.
6. Найти величину t
s
∈ [3, 30] так, чтобы максимизировать высоту
подъема ракеты за время T = 100.
Литература
1. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управ-
ления. — М.: Наука, 1978.
2. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах опти-
мального управления // Космические исследования, 1966, IV, № 5,
c. 651.
3. Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
— М.: Наука, 1987.
Оптимизация вертикального подъема ракеты.                             77


2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                 y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                       k1 = f (tn , yn ),
                       k2 = f (tn + h, yn + hk1 ),
                       yn+1 = yn + h(k1 + k2 )/2.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
          y1′ = y1 /(2 + 2t) − 2ty2 ,   y2′ = y2 /(2 + 2t) + 2ty1 ,
на отрезке [0, 2] с точным решением (проверьте!)
                             √                    √
                y1 = cos(t2 ) 1 + t, y2 = sin(t2 ) 1 + t.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h2 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решая систему уравнений движения ракеты при помощи разрабо-
танной процедуры, исследовать зависимость высоты полета от вре-
мени на интервале (0, T ), T = 100 при различном выборе шага сетки
h. Результаты расчетов оформить в виде графиков z = z(t).
    Исходные данные [1,2]:
      g = 0.01, α = 2, C = 0.05, γ = 0.01, mT = 0.8, ts = 20.
6. Найти величину ts ∈ [3, 30] так, чтобы максимизировать высоту
подъема ракеты за время T = 100.
                               Литература
1. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управ-
ления. — М.: Наука, 1978.
2. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах опти-
мального управления // Космические исследования, 1966, IV, № 5,
c. 651.
3. Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
— М.: Наука, 1987.

Страницы