Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задание 24. Задача о полете снаряда-2.
1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим полет снаряда, выпущен-
ной с начальной скоростью v под углом θ
0
к горизонту, при следую-
щих предположениях:
• сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-
сти снаряда;
• дальность полета снаряда не превышает 10 км;
• боковой ветер отсутствует.
При сделанных допущениях можно считать, что земля плоская и вся
траектория снаряда лежит в одной плоскости xOy. Уравнения дви-
жения центра масс снаряда в проекциях на оси координат запишутся
в виде
x
′′
= −CρSv
2
cos(θ)/2m,
y
′′
= −CρSv
2
sin(θ)/2m − g,
(1)
Здесь m — масса снаряда, v = (x
′2
+y
′2
)
1/2
— скорость движения, θ =
arctg(y
′
/x
′
) — угол между касательной к траектории и осью Ox, g —
ускорение силы тяжести, S — площадь поперечного сечения снаряда,
ρ — плотность воздуха, C — коэффициент лобового сопротивления
снаряда.
Уравнения (1) дополняются начальными условиями
x(0) = 0, y(0) = 0, θ(0) = θ
0
, v(0) = v
0
. (2)
Введением новых неизвестных v
1
= x
′
, v
2
= y
′
уравнения (1) сво-
дятся к 4-м уравнениям 1-го порядка.
Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
снаряд сил.
       Задание 24. Задача о полете снаряда-2.


   1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим полет снаряда, выпущен-
ной с начальной скоростью v под углом θ0 к горизонту, при следую-
щих предположениях:
  • сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-
    сти снаряда;
  • дальность полета снаряда не превышает 10 км;
  • боковой ветер отсутствует.
При сделанных допущениях можно считать, что земля плоская и вся
траектория снаряда лежит в одной плоскости xOy. Уравнения дви-
жения центра масс снаряда в проекциях на оси координат запишутся
в виде
                   x′′ = −CρSv 2 cos(θ)/2m,
                                                             (1)
                   y ′′ = −CρSv 2 sin(θ)/2m − g,
Здесь m — масса снаряда, v = (x′2 +y ′2 )1/2 — скорость движения, θ =
arctg(y ′ /x′ ) — угол между касательной к траектории и осью Ox, g —
ускорение силы тяжести, S — площадь поперечного сечения снаряда,
ρ — плотность воздуха, C — коэффициент лобового сопротивления
снаряда.
    Уравнения (1) дополняются начальными условиями

             x(0) = 0, y(0) = 0, θ(0) = θ0 , v(0) = v0 .          (2)

   Введением новых неизвестных v1 = x′ , v2 = y ′ уравнения (1) сво-
дятся к 4-м уравнениям 1-го порядка.
                             Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
снаряд сил.

Страницы