Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задание 5. Релаксационные колебания:
осциллятор Ван-Дер-Поля.
1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим модификацию последо-
вательной LCR цепи, показанную на рисунке. Предположим, что
“черный ящик” B является элементом цепи (или объединением
нескольких элементов цепи) с вольт-амперной характеристикой, изоб-
раженной на рисунке справа. Такой черный ящик назыается нели-
V
B
C L
J
J
B
B
нейным резистором с кубической вольт-амперной характеристикой:
V
B
= f(j
B
) = j
B
(j
2
B
/3 − 1).
Пусть V
L
, V
C
и V
B
— разности потенциалов на элементах цепи в
направлении тока J. Динамические уравнения цепи имеют вид
L
dJ
dt
= V
C
− f(j), C
dV
C
dt
= −j.
Здесь был использован закон Кирхгофа для напряжений и было ис-
ключено V
L
. Сделаем замену t/L → t, y
1
= j, y
2
= V
C
, L/C = η, и
получим искомые уравнения:
dy
1
dt
= y
2
− f(y
1
),
dy
2
dt
= −ηy
1
. (1)
Уравнения (1) дополняются начальными условиями
y
1
(0) = j
0
, y
2
(0) = V
0
. (2)
Уравнения (1) зависят от единственного параметра η.
       Задание 5. Релаксационные колебания:
            осциллятор Ван-Дер-Поля.


    1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим модификацию последо-
вательной LCR цепи, показанную на рисунке. Предположим, что
“черный ящик” B является элементом цепи (или объединением
нескольких элементов цепи) с вольт-амперной характеристикой, изоб-
раженной на рисунке справа. Такой черный ящик назыается нели-

                                           VB


               C                L
                        J
                                                      JB

                        B


нейным резистором с кубической вольт-амперной характеристикой:
VB = f (jB ) = jB (jB2 /3 − 1).
   Пусть VL , VC и VB — разности потенциалов на элементах цепи в
направлении тока J. Динамические уравнения цепи имеют вид
                       dJ                 dVC
                   L      = VC − f (j), C     = −j.
                       dt                  dt
Здесь был использован закон Кирхгофа для напряжений и было ис-
ключено VL . Сделаем замену t/L → t, y1 = j, y2 = VC , L/C = η, и
получим искомые уравнения:
                   dy1                          dy2
                       = y2 − f (y1 ),              = −ηy1 .   (1)
                   dt                           dt
Уравнения (1) дополняются начальными условиями

                            y1 (0) = j0 , y2 (0) = V0 .        (2)

Уравнения (1) зависят от единственного параметра η.

Страницы