Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача Жуковского о полете планера. 33
преобразуем уравнения к виду
V
′
= −sin (θ) − σV
2
,
θ
′
=
(
V
2
− cos(θ)
)
/V, (1)
Z
′
= V sin (θ) ,
X
′
= V cos (θ) ,
и дополним их начальными условиями
Z(0) = Z
0
, X(0) = 0, θ(0) = θ
0
, V (0) = V
0
. (2)
Из вида уравнений (1) следует, что динамика полета планера харак-
теризуется одним cущественным положительным параметром σ.
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
+ 2/3hk
1
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
2
)/4.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −αy
1
− βy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
y
′
2
= βy
1
− αy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
y
1
= y
2
= e
−t
, α = 5, β = 10.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
2
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (1), (2) при помощи разработанной про-
граммы. Для двух наборов начальных условий (2) и нескольких зна-
чений параметра σ показать, что если начальная скорость планера
Задача Жуковского о полете планера.                               33


преобразуем уравнения к виду
                         V′   = − sin (θ) − σV 2 ,
                                (            )
                         θ′   = V 2 − cos(θ) /V,                 (1)
                         Z′   = V sin (θ) ,
                         X′   = V cos (θ) ,
и дополним их начальными условиями
            Z(0) = Z0 , X(0) = 0, θ(0) = θ0 , V (0) = V0 .       (2)
Из вида уравнений (1) следует, что динамика полета планера харак-
теризуется одним cущественным положительным параметром σ.
                                   Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                 y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                    k1 = f (tn , yn ),
                    k2 = f (tn + 2/3h, yn + 2/3hk1 ),
                    yn+1 = yn + h(k1 + 3k2 )/4.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
                  y1′ = −αy1 − βy2 + (α + β − 1)e−t ,
                  y2′ = βy1 − αy2 + (α + β − 1)e−t ,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
                    y1 = y2 = e−t ,    α = 5, β = 10.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h2 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (1), (2) при помощи разработанной про-
граммы. Для двух наборов начальных условий (2) и нескольких зна-
чений параметра σ показать, что если начальная скорость планера

Страницы