Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

62 Задача о полете ракеты.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ hk
1
/2),
k
3
= f(t
n
+ h, y
n
− hk
1
+ 2hk
2
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 4k
2
+ k
3
)/6.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= e
2t
y
2
, y
′
2
= −e
−2t
y
1
,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
y
1
= e
t
, y
2
= e
−t
.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
3
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решить систему уравнений (1), (2) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать траектории полета ракеты при следующих исход-
ных данных:
m(0) = 30 кг., C = 0.2, ρ = 1.29 кг./м
3
,
S = 0.25 м
2
, g = 9.81, v
0
= 50 м/сек.
и значениях начального угла θ
0
∈ [30
o
, 80
o
]. Начальная масса топ-
лива равна 15 кг. Двигатель работает в течение первых 4-х сек. до
полного выгорания топлива, T = 5, топливо выгорает с постоянной
скоростью. При каком значении θ
0
дальность полета L = L(θ
0
) будет
максимальной. Привести графики траекторий полета в координатах
(x, y) и график L(θ
0
).
62                                                        Задача о полете ракеты.


2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида

                y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,

на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                  k1 = f (tn , yn ),
                  k2 = f (tn + h/2, yn + hk1 /2),
                  k3 = f (tn + h, yn − hk1 + 2hk2 ),
                  yn+1 = yn + h(k1 + 4k2 + k3 )/6.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений

                      y1′ = e2t y2 ,   y2′ = −e−2t y1 ,

на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)

                           y1 = et , y2 = e−t .

4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h3 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решить систему уравнений (1), (2) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать траектории полета ракеты при следующих исход-
ных данных:

             m(0) = 30 кг., C = 0.2, ρ = 1.29 кг./м3 ,
              S = 0.25 м2 , g = 9.81, v0 = 50 м/сек.

и значениях начального угла θ0 ∈ [30o , 80o ]. Начальная масса топ-
лива равна 15 кг. Двигатель работает в течение первых 4-х сек. до
полного выгорания топлива, T = 5, топливо выгорает с постоянной
скоростью. При каком значении θ0 дальность полета L = L(θ0 ) будет
максимальной. Привести графики траекторий полета в координатах
(x, y) и график L(θ0 ).

Страницы