Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задание 14. Задача о полете ракеты-1.
1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим полет ракеты, выпущен-
ной с начальной скоростью v под углом θ
0
к горизонту, при следую-
щих предположениях:
• сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-
сти ракеты;
• дальность полета ракеты не превышает 100 км;
• боковой ветер отсутствует.
При сделанных допущениях можно считать, что земля плоская и вся
траектория ракеты лежит в одной плоскости xOy. Уравнения движе-
ния центра масс ракеты в проекциях на оси координат запишутся в
виде
x
′′
= (T − CρSv
2
/2) cos(θ)/m − m
′
x
′
/m,
y
′′
= (T − CρSv
2
/2) sin(θ)/m − m
′
y
′
/m − g,
(1)
Здесь m = m(t) — масса ракеты, v = (x
′2
+ y
′2
)
1/2
— скорость дви-
жения, θ = arctg(y
′
/x
′
) — угол между касательной к траектории и
осью Ox, g — ускорение силы тяжести, S — площадь поперечного
сечения ракеты, ρ — плотность воздуха, C — коэффициент лобового
сопротивления ракеты, T = T (t) — сила тяги при работе двигателя
ракеты.
Уравнения (1) дополняются начальными условиями
x(0) = 0, y(0) = 0, θ(0) = θ
0
, v(0) = v
0
. (2)
Введением новых неизвестных v
1
= x
′
, v
2
= y
′
уравнения (1) сводятся
к 4-м уравнениям 1-го порядка.
Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
ракету сил.
        Задание 14. Задача о полете ракеты-1.


   1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим полет ракеты, выпущен-
ной с начальной скоростью v под углом θ0 к горизонту, при следую-
щих предположениях:
  • сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-
    сти ракеты;
  • дальность полета ракеты не превышает 100 км;
  • боковой ветер отсутствует.
При сделанных допущениях можно считать, что земля плоская и вся
траектория ракеты лежит в одной плоскости xOy. Уравнения движе-
ния центра масс ракеты в проекциях на оси координат запишутся в
виде
            x′′ = (T − CρSv 2 /2) cos(θ)/m − m′ x′ /m,
                                                             (1)
            y ′′ = (T − CρSv 2 /2) sin(θ)/m − m′ y ′ /m − g,
Здесь m = m(t) — масса ракеты, v = (x′2 + y ′2 )1/2 — скорость дви-
жения, θ = arctg(y ′ /x′ ) — угол между касательной к траектории и
осью Ox, g — ускорение силы тяжести, S — площадь поперечного
сечения ракеты, ρ — плотность воздуха, C — коэффициент лобового
сопротивления ракеты, T = T (t) — сила тяги при работе двигателя
ракеты.
    Уравнения (1) дополняются начальными условиями

             x(0) = 0, y(0) = 0, θ(0) = θ0 , v(0) = v0 .          (2)

Введением новых неизвестных v1 = x′ , v2 = y ′ уравнения (1) сводятся
к 4-м уравнениям 1-го порядка.
                             Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
ракету сил.

Страницы