Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Динамика химического реактора. 59
Уравнения дополняются начальными условиями
c(0) = c
0
, T (0) = T
0
.
Таким образом, рассматриваемая модель химического реактора име-
ет четыре существенных параметра: c
0
, T
0
, λ, β, которые являются
положительными величинами. В соответствии с физическим смыслом
неизвестные c(t), T (t) также положительны.
Время окончания химической реакции полагается равным T = 15.
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы из
n уравнений на произвольном отрезке [a, b], используя метод Мерсона
5-го порядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ hk
1
/3),
k
3
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ hk
1
/6 + hk
2
/6),
k
4
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ hk
1
/8 + 3hk
3
/8),
k
5
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
/2 − 3hk
3
/2 + 2hk
4
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 4k
4
+ k
5
)/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений,
y
′
1
= y
1
/(2 + 2t) −2ty
2
, y
′
2
= y
2
/(2 + 2t) + 2ty
1
,
имеющей точное решение (проверьте!)
y
1
= cos(t
2
)
√
1 + t, y
2
= sin(t
2
)
√
1 + t
на отрезке [0, 2].
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
5
от выбранного шага h. Дать ин-
терпретацию полученных графиков.
4. Решить исходную систему уравнений при помощи разработанной
процедуры для следующих данных
c
0
= 120, T
0
= 0.23, λ = 0.45, β = 45.
Приведите график решения в фазовом пространстве (c, T ). Вы долж-
ны обнаружить устойчивый предельный цикл в решении, что свиде-
тельствует об автоколебательном режиме работы реактора.
Динамика химического реактора.                                       59


Уравнения дополняются начальными условиями
                         c(0) = c0 ,   T (0) = T0 .
Таким образом, рассматриваемая модель химического реактора име-
ет четыре существенных параметра: c0 , T0 , λ, β, которые являются
положительными величинами. В соответствии с физическим смыслом
неизвестные c(t), T (t) также положительны.
    Время окончания химической реакции полагается равным T = 15.
                                 Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы из
n уравнений на произвольном отрезке [a, b], используя метод Мерсона
5-го порядка точности с постоянным шагом h:
             k1 = f (tn , yn ),
             k2 = f (tn + h/3, yn + hk1 /3),
             k3 = f (tn + h/3, yn + hk1 /6 + hk2 /6),
             k4 = f (tn + h/2, yn + hk1 /8 + 3hk3 /8),
             k5 = f (tn + h, yn + hk1 /2 − 3hk3 /2 + 2hk4 ),
             yn+1 = yn + h(k1 + 4k4 + k5 )/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений,
           y1′ = y1 /(2 + 2t) − 2ty2 , y2′ = y2 /(2 + 2t) + 2ty1 ,
имеющей точное решение (проверьте!)
                          √                    √
             y1 = cos(t2 ) 1 + t, y2 = sin(t2 ) 1 + t
на отрезке [0, 2].
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h5 от выбранного шага h. Дать ин-
терпретацию полученных графиков.
4. Решить исходную систему уравнений при помощи разработанной
процедуры для следующих данных
             c0 = 120,    T0 = 0.23,     λ = 0.45,     β = 45.
Приведите график решения в фазовом пространстве (c, T ). Вы долж-
ны обнаружить устойчивый предельный цикл в решении, что свиде-
тельствует об автоколебательном режиме работы реактора.

Страницы