Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Расчетные формулы для P
1
элементов. 45
a
i
1
a
i
3
a
i
2
1
τ
l
Рис. 1. Элемент τ
ℓ
и базисная функция φ
i
1
.
2.1. Расчетные формулы для P
1
элементов.
Рассмотрим задачу вычисления матрицы жесткости элемента
(τ
ℓ
, ω
τ
ℓ
, P
1
). Компоненты матрицы K
ℓ
с номерами α, β = 1, 2, 3, опре-
деляются формулами
k
ℓ
αβ
=
τ
ℓ
c ∇φ
i
β
· ∇φ
i
α
+ b · ∇φ
i
β
φ
i
α
+ a φ
i
β
φ
i
α
dx.
Здесь i
1
, i
2
, i
3
— номера вершин элемента τ
ℓ
; φ
i
1
, φ
i
2
, φ
i
3
— базис-
ные функции, соответствующие узлам с этими номерами (см. рис.
1).
1)
Для вычисления интеграла нужно иметь формулы для базисных
функций и их градиентов и некоторый численный метод вычисления
интеграла.
Для P
1
элементов используют два способа вычисления интеграла
(согласно теории МКЭ; мы не рассматриваем возможность вычисле-
ния слагаемых интеграла по разным формулам). В 1-ом способе ко-
эффициенты c, b, a на элементе полагаются постоянными и равными
своим значениям в центре тяжести элемента x
τ
= (a
i
1
+ a
i
2
+ a
i
3
)/3.
После чего интегралы вычисляются точно (такой способ принят в pde
toolbox). Второй способ заключается в использовании квадратурной
формулы с одним узлом x
τ
, которая является точной на полиномах
из P
1
.
2)
В этом случае приходим к простой формуле:
k
ℓ
αβ
= |τ
ℓ
|
c ∇φ
i
β
· ∇φ
i
α
+ b · ∇φ
i
β
φ
i
α
+ a φ
i
β
φ
i
α
(x
τ
),
1)
они являются аффинными функциями и удовлетворяют условию φ
i
ℓ
(a
i
k
) = δ
kℓ
.
2)
то есть
τ
ℓ
p dx = |τ
ℓ
| p(x
τ
) для любых p ∈ P
1
.
2.1. Расчетные формулы для P1 элементов.                                            45




                                1



                                                             ai
                                                               3

                                                   τ
                                                    l
                               ai
                                 1
                                                                    ai
                          Рис. 1. Элемент τℓ и базисная функция φi1 .   2




2.1. Расчетные формулы для P1 элементов.

      Рассмотрим задачу вычисления матрицы жесткости элемента
(τℓ , ωτℓ , P1 ). Компоненты матрицы K ℓ с номерами α, β = 1, 2, 3, опре-
деляются формулами
                    ∫
                       (                                         )
                ℓ
             kαβ =       c ∇φiβ · ∇φiα + b · ∇φiβ φiα + a φiβ φiα dx.
                     τℓ

Здесь i1 , i2 , i3 — номера вершин элемента τℓ ; φi1 , φi2 , φi3 — базис-
ные функции, соответствующие узлам с этими номерами (см. рис.
1).1) Для вычисления интеграла нужно иметь формулы для базисных
функций и их градиентов и некоторый численный метод вычисления
интеграла.
     Для P1 элементов используют два способа вычисления интеграла
(согласно теории МКЭ; мы не рассматриваем возможность вычисле-
ния слагаемых интеграла по разным формулам). В 1-ом способе ко-
эффициенты c, b, a на элементе полагаются постоянными и равными
своим значениям в центре тяжести элемента xτ = (ai1 + ai2 + ai3 )/3.
После чего интегралы вычисляются точно (такой способ принят в pde
toolbox). Второй способ заключается в использовании квадратурной
формулы с одним узлом xτ , которая является точной на полиномах
из P1 .2) В этом случае приходим к простой формуле:
                      (                                        )
           ℓ
          kαβ  = |τℓ | c ∇φiβ · ∇φiα + b · ∇φiβ φiα + a φiβ φiα (xτ ),
 1)
      они являются
             ∫     аффинными функциями и удовлетворяют условию φiℓ (aik ) = δkℓ .
 2)
      то есть p dx = |τℓ | p(xτ ) для любых p ∈ P1 .
             τℓ

Страницы