Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
ˆa
1
ˆa
2
ˆa
3
ˆ
P = P
1
a
1
a
2
a
3
Рис. 2. Базисный элемент ˆτ (слева) и P
1
элемент τ (справа).
где |τ
ℓ
| есть площадь τ
ℓ
.
Для получения формул для базисных функций можно восполь-
зоваться следующим приемом, пригодным и для более сложных тре-
угольных элементов с прямолинейными сторонами (например, для
6-ти узловых P
2
элементов; см. далее). Идея заключается в том, что-
бы рассмотреть подобный τ
ℓ
“канонический” (базисный) элемент ˆτ,
в координатах ˆx = (ˆx
1
, ˆx
2
), для которого базисные функции просто
определяются. Тогда базисные функции на τ
ℓ
можно получить пре-
образованием координат.
C этой целью рассмотрим рис. 2, на котором изображен базисный
элемент с вершинами ˆa
1
= (0, 0), ˆa
2
= (1, 0), ˆa
3
= (0, 1) (слева) и
произвольный 3-х узловой P
1
элемент τ (справа) с вершинами a
1
, a
2
и a
3
(для сокращения записи используем обозначения τ, a
α
вместо τ
ℓ
,
a
i
α
). Легко проверяется, что функции
ˆφ
1
(ˆx) = 1 − ˆx
1
− x
2
, ˆφ
2
(ˆx) = ˆx
1
, ˆφ
3
(ˆx) = ˆx
2
,
являются базисными (они являются аффинными функциями, ˆφ
i
(ˆa
j
) =
δ
ij
). Также нетрудно видеть, что формула
x = a
1
ˆφ
1
+ a
2
ˆφ
2
+ a
3
ˆφ
3
= a
1
+ ˆx
1
(a
2
− a
1
) + ˆx
2
(a
3
− a
1
) (3.1)
задает преобразование элемента ˆτ на τ. Действительно, это отобра-
жение является аффинным и вершины ˆτ преобразуются в вершины
τ, причем (0, 0) → a
1
, (1, 0) → a
2
, (0, 1) → a
3
, т. е. отображение
сохраняет ориентацию базисного элемента. Пусть
B
τ
=
(
(a
2
− a
1
)
1
(a
3
− a
1
)
1
(a
2
− a
1
)
2
(a
3
− a
1
)
2
)
, a
1
=
(
(a
1
)
1
(a
1
)
2
)
,
46                              Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ


                                                       a3
           â3
                                                                      a2
                                    P̂ = P1



           â1                â2               a1

           Рис. 2. Базисный элемент τ̂ (слева) и P1 элемент τ (справа).

где |τℓ | есть площадь τℓ .
     Для получения формул для базисных функций можно восполь-
зоваться следующим приемом, пригодным и для более сложных тре-
угольных элементов с прямолинейными сторонами (например, для
6-ти узловых P2 элементов; см. далее). Идея заключается в том, что-
бы рассмотреть подобный τℓ “канонический” (базисный) элемент τ̂ ,
в координатах x̂ = (x̂1 , x̂2 ), для которого базисные функции просто
определяются. Тогда базисные функции на τℓ можно получить пре-
образованием координат.
     C этой целью рассмотрим рис. 2, на котором изображен базисный
элемент с вершинами â1 = (0, 0), â2 = (1, 0), â3 = (0, 1) (слева) и
произвольный 3-х узловой P1 элемент τ (справа) с вершинами a1 , a2
и a3 (для сокращения записи используем обозначения τ , aα вместо τℓ ,
aiα ). Легко проверяется, что функции

             φ̂1 (x̂) = 1 − x̂1 − x2 , φ̂2 (x̂) = x̂1 , φ̂3 (x̂) = x̂2 ,

являются базисными (они являются аффинными функциями, φ̂i (âj ) =
δij ). Также нетрудно видеть, что формула

     x = a1 φ̂1 + a2 φ̂2 + a3 φ̂3 = a1 + x̂1 (a2 − a1 ) + x̂2 (a3 − a1 )   (3.1)

задает преобразование элемента τ̂ на τ . Действительно, это отобра-
жение является аффинным и вершины τ̂ преобразуются в вершины
τ , причем (0, 0) → a1 , (1, 0) → a2 , (0, 1) → a3 , т. е. отображение
сохраняет ориентацию базисного элемента. Пусть
                (                         )        (         )
                  (a2 − a1 )1 (a3 − a1 )1             (a1 )1
         Bτ =                               , a1 =             ,
                  (a2 − a1 )2 (a3 − a1 )2             (a1 )2

Страницы