Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
Заметим также, что для элементов τ любых типов
m
τ
∑
i=1
φ
i
(x) = 1,
m
τ
∑
i=1
∇φ
i
(x) = (0, 0)
T
, x ∈ τ, (3.6)
где m
τ
— число узлов интерполяции на элементе.
Отметим разницу между двумя способами вычисления интегра-
ла, указанными выше. Поскольку базисные функции φ
i
α
являются
линейными, а ∇φ
i
α
— постоянными, то отличие состоит лишь в спо-
собе вычисления интеграла
m
ℓ
αβ
=
∫
τ
ℓ
a φ
i
β
φ
i
α
dx.
Матрица M
τ
с этими элементами называется матрицей масс элемента
τ. В случае использования квадратурной формулы все его элементы
оказываются одинаковыми и равными (J
τ
/18) a(x
τ
), а сама матрица
является вырожденной (ранга 1). При “точном интегрировании”
m
ℓ
αβ
= a(x
τ
) J
τ
∫
ˆτ
ˆφ
α
ˆφ
β
dˆx = a(x
τ
) J
τ
{
1/12, α = β,
1/24, α ̸= β,
а матрица M
τ
является положительно определенной.
Аналогично вычисляются компоненты вектора сил элемента τ
F
τ
α
=
∫
τ
f(x)φ
i
α
(x) dx.
Оба способа вычисления интеграла приводят к формуле
F
τ
α
= (J
τ
/6) f(x
τ
), α = 1, 2, 3.
Для вычисления “граничной” матрицы маcc и вектора сил (гранич-
ного ребра e с номерами вершин i
1
и i
2
) с компонентами
h
e
αβ
=
∫
e
σ(x) φ
i
β
φ
i
α
dx, g
e
α
=
∫
e
µ(x) φ
i
α
(x) dx
применяются аналогичные приемы: либо считается, что σ(x) = σ(x
e
),
µ(x) = µ(x
e
) и интегралы вычисляются точно, либо использует-
ся квадратурная формула центральных прямоугольников. Для g
e
α
в
48                               Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ


     Заметим также, что для элементов τ любых типов
            ∑
            mτ                    ∑
                                  mτ
                  φi (x) = 1,           ∇φi (x) = (0, 0)T ,   x ∈ τ,   (3.6)
            i=1                   i=1
где mτ — число узлов интерполяции на элементе.
    Отметим разницу между двумя способами вычисления интегра-
ла, указанными выше. Поскольку базисные функции φiα являются
линейными, а ∇φiα — постоянными, то отличие состоит лишь в спо-
собе вычисления интеграла
                            ∫
                        ℓ
                      mαβ = a φiβ φiα dx.
                                        τℓ

Матрица M τ с этими элементами называется матрицей масс элемента
τ . В случае использования квадратурной формулы все его элементы
оказываются одинаковыми и равными (Jτ /18) a(xτ ), а сама матрица
является вырожденной (ранга 1). При “точном интегрировании”
                         ∫                        {
                                                    1/12, α = β,
         mℓαβ = a(xτ ) Jτ φ̂α φ̂β dx̂ = a(xτ ) Jτ
                                                    1/24, α ̸= β,
                            τ̂

а матрица M τ является положительно определенной.
   Аналогично вычисляются компоненты вектора сил элемента τ
                           ∫
                        τ
                      Fα = f (x)φiα (x) dx.
                                   τ

Оба способа вычисления интеграла приводят к формуле
                        Fατ = (Jτ /6) f (xτ ), α = 1, 2, 3.
Для вычисления “граничной” матрицы маcc и вектора сил (гранич-
ного ребра e с номерами вершин i1 и i2 ) с компонентами
                 ∫                        ∫
          heαβ = σ(x) φiβ φiα dx, gαe = µ(x) φiα (x) dx
                    e                              e

применяются аналогичные приемы: либо считается, что σ(x) = σ(xe ),
µ(x) = µ(xe ) и интегралы вычисляются точно, либо использует-
ся квадратурная формула центральных прямоугольников. Для gαe в

Страницы