Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Расчетные формулы для P
1
элементов. 47
тогда
x = B
τ
ˆx + a
1
: ˆτ → τ. (3.2)
Якобиан этого отображения J
τ
= det(B
τ
) > 0, и, следовательно, ра-
вен 2|τ| — удвоенной площади элемента τ, поскольку
|τ| =
∫
τ
d x =
∫
ˆτ
det(B
τ
)d ˆx = |ˆτ| det(B
τ
) =
1
2
J
τ
. (3.3)
Обратное отображение имеет вид ˆx = B
−1
τ
(x − a
1
), причем
B
−1
τ
=
1
det(B
τ
)
(
(a
3
− a
1
)
2
−(a
3
− a
1
)
1
−(a
2
− a
1
)
2
(a
2
− a
1
)
1
)
=:
(
d −b
−c a
)
. (3.4)
Следовательно,
ˆx
1
= d(x
1
− (a
1
)
1
) − b(x
2
− (a
1
)
2
), ˆx
2
= −c(x
1
− (a
1
)
1
) + a(x
2
− (a
1
)
2
).
Базисные функция φ
i
(x) на элементе τ получаются заменой пере-
менных из базисных функций на элементе ˆτ по формуле φ
i
(x) =
ˆφ(B
−1
τ
(x − a
1
)). Поэтому
φ
1
(x) = 1 − φ
2
(x) − φ
3
(x),
φ
2
(x) = d(x
1
− (a
1
)
1
) − b(x
2
− (a
1
)
2
),
φ
3
(x) = −c(x
1
− (a
1
)
1
) + a(x
2
− (a
1
)
2
).
Соответственно, градиенты этих функций имеют следующий вид:
∇φ
1
=
(
c − d
b − a
)
, ∇φ
2
=
(
d
−b
)
, ∇φ
3
=
(
−c
a
)
.
Отметим, что φ
i
(x
τ
) = 1/3, i = 1, 2, 3,
1)
, а градиенты (
ˆ
∇) функций ˆφ
i
связаны с ∇φ
i
равенством
∇φ
i
(x) = B
−T
τ
ˆ
∇ ˆφ
i
(ˆx), ˆx = B
−1
τ
(x − a
1
), (3.5)
где B
−T
τ
= (B
−1
τ
)
T
. Для вычисления элементов локальной матрицы
жесткости, таким образом, все данные подготовлены.
1)
на базисном элементе это так, а точка (1/3, 1/3) — центр тяжести элемента ˆτ, при преоб-
разовании координат переходит в x
τ
— центр тяжести τ .
2.1. Расчетные формулы для P1 элементов.                                                  47


тогда
                               x = Bτ x̂ + a1 : τ̂ → τ.                               (3.2)
Якобиан этого отображения Jτ = det(Bτ ) > 0, и, следовательно, ра-
вен 2|τ | — удвоенной площади элемента τ , поскольку
                 ∫      ∫
                                                       1
           |τ | = d x = det(Bτ )d x̂ = |τ̂ | det(Bτ ) = Jτ . (3.3)
                                                       2
                     τ           τ̂

Обратное отображение имеет вид x̂ = Bτ−1 (x − a1 ), причем
               (                           )     (         )
   −1      1      (a3 − a1 )2 −(a3 − a1 )1           d −b
 Bτ =                                        =:              . (3.4)
       det(Bτ ) −(a2 − a1 )2 (a2 − a1 )1            −c a
Следовательно,

x̂1 = d(x1 − (a1 )1 ) − b(x2 − (a1 )2 ), x̂2 = −c(x1 − (a1 )1 ) + a(x2 − (a1 )2 ).

Базисные функция φi (x) на элементе τ получаются заменой пере-
менных из базисных функций на элементе τ̂ по формуле φi (x) =
φ̂(Bτ−1 (x − a1 )). Поэтому

                    φ1 (x) = 1 − φ2 (x) − φ3 (x),
                    φ2 (x) = d(x1 − (a1 )1 ) − b(x2 − (a1 )2 ),
                    φ3 (x) = −c(x1 − (a1 )1 ) + a(x2 − (a1 )2 ).

Соответственно, градиенты этих функций имеют следующий вид:
             (       )          (    )          (    )
                c−d                d              −c
      ∇φ1 =            , ∇φ2 =         , ∇φ3 =         .
                b−a               −b               a

Отметим, что φi (xτ ) = 1/3, i = 1, 2, 3,1) , а градиенты (∇)
                                                           ˆ функций φ̂i
связаны с ∇φi равенством

                   ∇φi (x) = Bτ−T ∇
                                  ˆ φ̂i (x̂), x̂ = Bτ−1 (x − a1 ),                    (3.5)

где Bτ−T = (Bτ−1 )T . Для вычисления элементов локальной матрицы
жесткости, таким образом, все данные подготовлены.
  1)
    на базисном элементе это так, а точка (1/3, 1/3) — центр тяжести элемента τ̂ , при преоб-
разовании координат переходит в xτ — центр тяжести τ .

Страницы