Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
Как и выше введем векторы столбцы ˆg
i
= { ˆφ
β
(
ˆ
d
i
)}
3
β=1
, dˆg
i
=
{ ˆφ
′
β
(
ˆ
d
i
)}
3
β=1
, матрицу координат узлов X
2×3
= (a
i
1
, a
i
2
, a
i
3
). Тогда
x
′
e
(
ˆ
d
i
) = Xdˆg
i
и ℓ(
ˆ
d
i
) = |Xdˆg
i
| — длина вектора Xdˆg
i
, C
i
= ˆc
i
|Xdˆg
i
|,
H
e
=
q
e
∑
i=1
(
C
i
σ(Xˆg
i
)
)
ˆg
i
ˆg
T
i
, G
e
=
q
e
∑
i=1
(
C
i
µ(Xˆg
i
)
)
ˆg
i
. (3.13)
Отметим две подходящие квадратурные формулы на [0, 1], точные на
полиномах третьей степени. Первая из них — квадратура Гаусса:
ˆc
1
= ˆc
2
= 0.5,
ˆ
d
1
= (1 −
√
1/3)/2,
ˆ
d
2
= (1 +
√
1/3)/2, q
e
= 2,
а вторая — квадратура Симпсона (в этом случае H
e
становится диа-
гональной):
ˆc
1
= ˆc
3
= 1/6, c
2
= 4/6,
ˆ
d
1
= 0,
ˆ
d
2
= 0.5,
ˆ
d
3
= 1, q
e
= 3.
70                              Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ


Как и выше введем векторы столбцы ĝi = {φ̂β (dˆi )}3β=1 , dĝi =
{φ̂′β (dˆi )}3β=1 , матрицу координат узлов X2×3 = (ai1 , ai2 , ai3 ). Тогда
x′e (dˆi ) = Xdĝi и ℓ(dˆi ) = |Xdĝi | — длина вектора Xdĝi , Ci = ĉi |Xdĝi |,
           ∑
           qe
              (            )                  ∑
                                              qe
                                                 (            )
      He =     Ci σ(X ĝi ) ĝi ĝiT ,   Ge =     Ci µ(X ĝi ) ĝi .       (3.13)
             i=1                               i=1

Отметим две подходящие квадратурные формулы на [0, 1], точные на
полиномах третьей степени. Первая из них — квадратура Гаусса:
                            √                 √
                   ˆ                 ˆ
  ĉ1 = ĉ2 = 0.5, d1 = (1 − 1/3)/2, d2 = (1 + 1/3)/2, qe = 2,

а вторая — квадратура Симпсона (в этом случае H e становится диа-
гональной):

      ĉ1 = ĉ3 = 1/6, c2 = 4/6,     dˆ1 = 0, dˆ2 = 0.5, dˆ3 = 1, qe = 3.

Страницы