Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Расчетные формулы для P
2
элементов. 67
транспонированную к матрице Якоби этого преобразования:
J
τ
(ˆx) =
∂x
τ
1
∂ˆx
1
∂x
τ
2
∂ˆx
1
∂x
τ
1
∂ˆx
2
∂x
τ
2
∂ˆx
2
(ˆx),
а модуль его определителя (модуль якобиана преобразования x =
x(ˆx)) обозначим |J
τ
(ˆx)|. Перейдем в интеграле (3.9) от элемента τ к
элементу ˆτ, учитывая, что
c(x) → ˆc(ˆx) = c(x
τ
(ˆx)), φ
α
(x) → ˆφ
α
(ˆx),
∇ → J
−1
τ
(ˆx)
ˆ
∇,
ˆ
∇ = (∂/∂ˆx
1
, ∂/∂ˆx
2
)
T
, dx = |J
τ
(ˆx)|d ˆx,
базисные функции ˆφ
α
, α = 1, . . . , 6, определяются формулами (3.7).
Будем иметь
k
τ
αβ
=
∫
ˆτ
(
ˆc(ˆx)J
−1
τ
(ˆx)
ˆ
∇ ˆφ
β
· J
−1
τ
(ˆx)
ˆ
∇ ˆφ
α
+
ˆ
b(ˆx) · J
−1
τ
(ˆx)
ˆ
∇ ˆφ
β
ˆφ
α
+
+ ˆa(ˆx) ˆφ
β
ˆφ
α
)
|J
τ
(ˆx)| dˆx.
Конечно, только в частных случаях этот интеграл может быть вы-
числен точно; поэтому используются квадратурные формулы для
его приближенного вычисления. Если через
ˆ
f(ˆx) обозначим подын-
тегральную функцию, то
k
τ
αβ
=
∫
ˆτ
ˆ
f(ˆx) dˆx ≈
q
τ
∑
i=1
ˆc
i
ˆ
f(
ˆ
d
i
),
здесь коэффициенты ˆc
i
и узлы
ˆ
d
i
, i = 1, . . . , q
τ
определяют выбран-
ную квадратурную формулу. Согласно теории МКЭ, достаточно ис-
пользовать квадратуры, точные на полиномах из P
2
и имеющие по-
ложительные коэффициенты.
Различие в трудоемкости вычислений между элементами с пря-
молинейными и криволинейными сторонами заключается в том, что в
1-ом случае матрица J
−1
τ
= B
−T
τ
не зависит от ˆx и может быть вычис-
лена лишь раз, тогда как во 2-м случае необходимо q
τ
раз вычислять
J
−1
τ
(
ˆ
d
i
). Заметим также, что если ввести при i = 1, . . . , q
τ
, следующие
матрицы размера 2 × 6
ˆ
D
i
= {
ˆ
∇ ˆφ
β
((
ˆ
d
i
))}
6
β=1
, D
i
= J
−1
τ
(
ˆ
b
i
)
ˆ
D
i
,
3.3. Расчетные формулы для P2 элементов.                                           67


транспонированную к матрице Якоби этого преобразования:
                                  τ           
                                   ∂x1 ∂xτ2
                                  ∂ x̂1 ∂ x̂1 
                       Jτ (x̂) =  ∂x  τ     τ  (x̂),
                                       1 ∂x2
                                   ∂ x̂2 ∂ x̂2
а модуль его определителя (модуль якобиана преобразования x =
x(x̂)) обозначим |Jτ (x̂)|. Перейдем в интеграле (3.9) от элемента τ к
элементу τ̂ , учитывая, что
                c(x) → ĉ(x̂) = c(xτ (x̂)),    φα (x) → φ̂α (x̂),
       ∇ → Jτ−1 (x̂)∇,
                    ˆ      ∇
                           ˆ = (∂/∂ x̂1 , ∂/∂ x̂2 )T ,       dx = |Jτ (x̂)|d x̂,
базисные функции φ̂α , α = 1, . . . , 6, определяются формулами (3.7).
Будем иметь
       ∫
         (
   τ
 kαβ =     ĉ(x̂)Jτ−1 (x̂)∇
                          ˆ φ̂β · J −1 (x̂)∇
                                   τ
                                           ˆ φ̂α + b̂(x̂) · J −1 (x̂)∇
                                                             τ
                                                                     ˆ φ̂β φ̂α +
         τ̂
                                                                    )
                                                     + â(x̂)φ̂β φ̂α |Jτ (x̂)| dx̂.
Конечно, только в частных случаях этот интеграл может быть вы-
числен точно; поэтому используются квадратурные формулы для
его приближенного вычисления. Если через fˆ(x̂) обозначим подын-
тегральную функцию, то
                       ∫             ∑
                                     qτ
                          ˆ
                  kαβ = f (x̂) dx̂ ≈
                   τ
                                        ĉi fˆ(dˆi ),
                              τ̂              i=1

здесь коэффициенты ĉi и узлы dˆi , i = 1, . . . , qτ определяют выбран-
ную квадратурную формулу. Согласно теории МКЭ, достаточно ис-
пользовать квадратуры, точные на полиномах из P2 и имеющие по-
ложительные коэффициенты.
     Различие в трудоемкости вычислений между элементами с пря-
молинейными и криволинейными сторонами заключается в том, что в
1-ом случае матрица Jτ−1 = Bτ−T не зависит от x̂ и может быть вычис-
лена лишь раз, тогда как во 2-м случае необходимо qτ раз вычислять
Jτ−1 (dˆi ). Заметим также, что если ввести при i = 1, . . . , qτ , следующие
матрицы размера 2 × 6
                          ˆ φ̂β ((dˆi ))}6 , Di = J −1 (b̂i )D̂i ,
                   D̂i = {∇           β=1                τ

Страницы