Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
ˆa
1
ˆa
4
ˆa
2
ˆa
5
ˆa
3
ˆa
6
ˆ
P = P
2
a
1
a
4
a
2
a
5
a
3
a
6
Рис. 5. Базисный P
2
элемент (слева) и произвольный изопараметрический P
2
элемент
(справа).
причем c
i
= p(a
i
). Таким образом, функции
φ
i
(x) = ˆφ
i
(ˆx
τ
(x)), i = 1, 2, . . . , 6,
образуют базис Лагранжа в P
τ
.
Важно отметить, что если τ является треугольником с прямоли-
нейными сторонами, то преобразование (3.8) совпадает с линейным
преобразованием x = B
τ
ˆx + a
1
(это просто доказать) и, в этом слу-
чае, изопараметрический элемент совпадает с рассмотренным ранее
P
2
элементом; в противном случае базисные функции и элементы P
τ
не будут полиномами, но полиномами (2-ой степени) будут их суже-
ния на каждую грань (относительно дуговой координаты грани).
3.3. Расчетные формулы для P
2
элементов.
Вклад элементов. Рассмотрим задачу вычисления матрицы жест-
кости K
τ
для P
2
элемента τ, имеющую компоненты
k
τ
αβ
=
∫
τ
(c ∇φ
β
· ∇φ
α
+ b · ∇φ
β
φ
α
+ a φ
β
φ
α
) dx. (3.9)
Как мы могли видеть выше, элементы с прямолинейными сторона-
ми и изопараметрические элементы различаются только видом пре-
образования x = x(ˆx) : ˆτ → τ ; поэтому неудивительно, что метод
вычисления матрицы K
τ
одинаков для обоих типов элементов.
Пусть x = x
τ
(ˆx) = (x
τ
1
(ˆx), x
τ
2
(ˆx))
T
, определим матрицу J
τ
(ˆx),
66                                 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ


              â3                                                     a3

                                       P̂ = P2              a6
                                                                           a5
            â6           â5
                                                    a1           a4
              â1       â4      â2                                       a2

Рис. 5. Базисный P2 элемент (слева) и произвольный изопараметрический P2 элемент
(справа).

причем ci = p(ai ). Таким образом, функции

                        φi (x) = φ̂i (x̂τ (x)), i = 1, 2, . . . , 6,

образуют базис Лагранжа в Pτ .
    Важно отметить, что если τ является треугольником с прямоли-
нейными сторонами, то преобразование (3.8) совпадает с линейным
преобразованием x = Bτ x̂ + a1 (это просто доказать) и, в этом слу-
чае, изопараметрический элемент совпадает с рассмотренным ранее
P2 элементом; в противном случае базисные функции и элементы Pτ
не будут полиномами, но полиномами (2-ой степени) будут их суже-
ния на каждую грань (относительно дуговой координаты грани).

3.3. Расчетные формулы для P2 элементов.

Вклад элементов. Рассмотрим задачу вычисления матрицы жест-
кости K τ для P2 элемента τ , имеющую компоненты
                ∫
           τ
          kαβ = (c ∇φβ · ∇φα + b · ∇φβ φα + a φβ φα ) dx. (3.9)
                    τ

Как мы могли видеть выше, элементы с прямолинейными сторона-
ми и изопараметрические элементы различаются только видом пре-
образования x = x(x̂) : τ̂ → τ ; поэтому неудивительно, что метод
вычисления матрицы K τ одинаков для обоих типов элементов.
   Пусть x = xτ (x̂) = (xτ1 (x̂), xτ2 (x̂))T , определим матрицу Jτ (x̂),

Страницы