Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Базисные функции изопараметрических P
2
элементов. 65
3.2. Базисные функции изопараметрических P
2
элементов.
Криволинейные элементы, к которым относятся изопараметриче-
ские элементы, используются обычно в качестве приграничных эле-
ментов, с целью более точной аппроксимации как области Ω, так и ее
границы Γ.
Схема определения изопараметрического P
2
элемента представле-
на на рис. 5, где слева указан базисный P
2
элемент (ˆτ, ˆω,
ˆ
P
2
), введен-
ный выше (его базисные функции определяются формулами (3.7)).
На рис. 5 справа изображен соответствующий этому базисному эле-
менту изопараметрический элемент (τ, ω
τ
, P
τ
). Точки a
i
, i = 1, . . . , 6,
образуют множество ω
τ
и, фактически, порождают как сам “элемент”
τ, так и пространство функций P
τ
. Осуществляется это следующим
образом. Через узлы a
2
, a
3
, a
5
(они могут быть расположены на гра-
нице области Ω, например) можно провести единственную параболу;
дуга этой параболы (между a
2
и a
3
) и определяет часть границы τ
(одну из 3-х его ребер). Важно отметить, что если эти узлы лежат
на одной прямой, то парабола вырождается в прямую и ребро ста-
новится прямолинейным. Аналогично определяются остальные два
ребра τ . Таким образом мы получаем “криволинейный” треугольник
τ.
1)
Множество P
τ
определяется следующим образом. Отображение
x = x
τ
(ˆx) =
6
∑
i=1
a
i
ˆφ
i
(ˆx), ˆx ∈ ˆτ, (3.8)
задает преобразование ˆτ на τ, при этом точки ˆa
i
преобразуются в a
i
,
i = 1, 2, . . . , 6. Доказывается, что если диаметр τ достаточно мал, а
точки a
4
, a
5
и a
6
не “сильно” отклоняются от средних точек отрезков
a
1
a
2
, a
2
a
3
и a
3
a
1
соответственно, то это преобразование взаимно одно-
значное и как само преобразование, так и обратное к нему — диффе-
ренцируемо. Обозначим обратное преобразование через ˆx = ˆx
τ
(x).
2)
Тогда по определению
P
τ
= {p : p(x) = ˆp(ˆx
τ
(x), ˆp ∈
ˆ
P } = {p : p(x) =
m
τ
∑
i=1
c
i
ˆφ
i
(ˆx
τ
(x)), c
i
∈ R},
1)
с одним, двумя или тремя прямолинейными ребрами ( это зависит от расположения a
4
, a
5
,
a
6
).
2)
его явное выражение нам далее не понадобится.
3.2. Базисные функции изопараметрических P2 элементов.                                           65


3.2. Базисные функции изопараметрических P2 элементов.

      Криволинейные элементы, к которым относятся изопараметриче-
ские элементы, используются обычно в качестве приграничных эле-
ментов, с целью более точной аппроксимации как области Ω, так и ее
границы Γ.
      Схема определения изопараметрического P2 элемента представле-
на на рис. 5, где слева указан базисный P2 элемент (τ̂ , ω̂, P̂2 ), введен-
ный выше (его базисные функции определяются формулами (3.7)).
На рис. 5 справа изображен соответствующий этому базисному эле-
менту изопараметрический элемент (τ, ωτ , Pτ ). Точки ai , i = 1, . . . , 6,
образуют множество ωτ и, фактически, порождают как сам “элемент”
τ , так и пространство функций Pτ . Осуществляется это следующим
образом. Через узлы a2 , a3 , a5 (они могут быть расположены на гра-
нице области Ω, например) можно провести единственную параболу;
дуга этой параболы (между a2 и a3 ) и определяет часть границы τ
(одну из 3-х его ребер). Важно отметить, что если эти узлы лежат
на одной прямой, то парабола вырождается в прямую и ребро ста-
новится прямолинейным. Аналогично определяются остальные два
ребра τ . Таким образом мы получаем “криволинейный” треугольник
τ .1) Множество Pτ определяется следующим образом. Отображение
                                             ∑
                                             6
                            x = xτ (x̂) =          ai φ̂i (x̂), x̂ ∈ τ̂ ,                     (3.8)
                                             i=1

задает преобразование τ̂ на τ , при этом точки âi преобразуются в ai ,
i = 1, 2, . . . , 6. Доказывается, что если диаметр τ достаточно мал, а
точки a4 , a5 и a6 не “сильно” отклоняются от средних точек отрезков
a1 a2 , a2 a3 и a3 a1 соответственно, то это преобразование взаимно одно-
значное и как само преобразование, так и обратное к нему — диффе-
ренцируемо. Обозначим обратное преобразование через x̂ = x̂τ (x).2)
Тогда по определению
                                                                   ∑
                                                                   mτ
Pτ = {p : p(x) = p̂(x̂τ (x), p̂ ∈ P̂ } = {p : p(x) =                        ci φ̂i (x̂τ (x)), ci ∈ R},
                                                                    i=1
   1)
        с одним, двумя или тремя прямолинейными ребрами ( это зависит от расположения a4 , a5 ,
a6 ).
   2)
        его явное выражение нам далее не понадобится.

Страницы