Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
1.5
^
a
1
^
a
2
^
a
3
^
a
4
^
a
5
^
a
6
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
P
2
Рис. 4. Базисный P
2
элемент (слева) и P
2
элемент с прямолинейными сторонами.
Если ˆx
3
= 1 − ˆx
1
− ˆx
2
, то легко проверить, что базис Лагранжа в
ˆ
P
2
определяют функции
ˆφ
1
= ˆx
3
(2ˆx
3
− 1), ˆφ
2
= ˆx
1
(2ˆx
1
− 1), ˆφ
3
= ˆx
2
(2ˆx
2
− 1/2) (3.7)
ˆφ
4
= 4ˆx
1
ˆx
3
, ˆφ
5
= 4ˆx
1
ˆx
2
, ˆφ
6
= 4ˆx
2
ˆx
3
,
а произвольная функция ˆp ∈
ˆ
P
2
допускает разложение
ˆp(ˆx) =
6
∑
i=1
ˆp(ˆa
i
) ˆφ
i
(ˆx), ˆx ∈ ˆτ .
На рис. 4 справа изображен соответствующий этому базисному эле-
менту произвольный элемент (τ, ω
τ
, P
τ
). Точки a
i
, i = 1, . . . , 6, обра-
зуют множество ω
τ
. Множество P
τ
определяется следующим образом.
Отображение (см. формулы (3.1)-(3.4))
x = B
τ
ˆx + a
1
: ˆτ → τ,
задает преобразование ˆτ на τ, при этом точки ˆa
i
преобразуются в a
i
,
i = 1, 2, . . . , 6. Обозначим обратное преобразование через ˆx = ˆx
τ
(x) =
B
−1
τ
(x − a
1
). Тогда по определению
P
τ
= {p : p(x) = ˆp(ˆx
τ
(x)), ˆp ∈
ˆ
P } = {p : p(x) =
6
∑
i=1
c
i
ˆφ
i
(ˆx
τ
(x)), c
i
∈ R},
причем c
i
= p(a
i
). Легко видеть, что P
τ
= P
2
. Таким образом, функ-
ции {φ
α
(x) = ˆφ
α
(ˆx
τ
(x))}
6
α=1
образуют базис Лагранжа в P
τ
.
64                                        Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ



                1.5
                                                                    a
                                                                       3
                                                                               a
                                                                                5
                          a^                                                                a2
                 1         3
                                             P                     a
                                                    2               6
                                   a^ 5                                        a4
                0.5       a^
                           6

                          a^     a^ 4               a^         a
                                                                1
                           1                         2
                 0
                      0          0.5            1        1.5               2          2.5

     Рис. 4. Базисный P2 элемент (слева) и P2 элемент с прямолинейными сторонами.

Если x̂3 = 1 − x̂1 − x̂2 , то легко проверить, что базис Лагранжа в P̂2
определяют функции

      φ̂1 = x̂3 (2x̂3 − 1), φ̂2 = x̂1 (2x̂1 − 1),                      φ̂3 = x̂2 (2x̂2 − 1/2)         (3.7)
                     φ̂4 = 4x̂1 x̂3 , φ̂5 = 4x̂1 x̂2 ,                 φ̂6 = 4x̂2 x̂3 ,

а произвольная функция p̂ ∈ P̂2 допускает разложение
                                          ∑
                                          6
                               p̂(x̂) =         p̂(âi )φ̂i (x̂), x̂ ∈ τ̂ .
                                          i=1

 На рис. 4 справа изображен соответствующий этому базисному эле-
менту произвольный элемент (τ, ωτ , Pτ ). Точки ai , i = 1, . . . , 6, обра-
зуют множество ωτ . Множество Pτ определяется следующим образом.
Отображение (см. формулы (3.1)-(3.4))

                                   x = Bτ x̂ + a1 : τ̂ → τ,

задает преобразование τ̂ на τ , при этом точки âi преобразуются в ai ,
i = 1, 2, . . . , 6. Обозначим обратное преобразование через x̂ = x̂τ (x) =
Bτ−1 (x − a1 ). Тогда по определению
                                                                               ∑
                                                                               6
Pτ = {p : p(x) = p̂(x̂τ (x)), p̂ ∈ P̂ } = {p : p(x) =                                ci φ̂i (x̂τ (x)), ci ∈ R},
                                                                               i=1

причем ci = p(ai ). Легко видеть, что Pτ = P2 . Таким образом, функ-
ции {φα (x) = φ̂α (x̂τ (x))}6α=1 образуют базис Лагранжа в Pτ .

Страницы