ВУЗ:
Составители:
68 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
и векторы столбцы g
i
= { ˆφ
β
(
ˆ
d
i
)}
6
β=1
, а также числа C
i
= ˆc
i
|J
τ
(
ˆ
d
i
)|,
то k
τ
αβ
можно записать в виде
k
τ
αβ
=
q
τ
i=1
ˆc
i
ˆ
f(
ˆ
d
i
) =
q
τ
i=1
C
i
ˆc(
ˆ
d
i
)D
i
(β) · D
i
(α)+
+
ˆ
b(
ˆ
d
i
) · D
i
(β) + ˆa(
ˆ
d
i
)ˆg
iβ
ˆg
iα
,
где D
i
(α) — столбец D
i
с номером α. Отсюда следует, что
K
τ
=
q
τ
i=1
C
i
ˆc(
ˆ
d
i
)D
T
i
D
i
+ g
i
ˆ
b(
ˆ
d
i
)D
i
+ ˆa(
ˆ
d
i
)ˆg
T
i
, (3.10)
поскольку x · y = x
T
y, xy
T
= {x
i
y
j
}
n
i,j=1
, x, y ∈ R
n
. Здесь
ˆ
b = (
ˆ
b
1
,
ˆ
b
2
)
— вектор строка.
Аналогично вычисляется вектор сил конечного элемента. Имеем:
F
τ
α
=
τ
f(x)φ
α
(x) dx ≈
q
τ
i=1
ˆc
i
ˆ
f(ˆx) ˆφ
α
(ˆx) |J
τ
(ˆx)|
(
ˆ
d
i
),
F
τ
=
q
τ
i=1
C
i
ˆ
f(
ˆ
d
i
)ˆg
i
. (3.11)
Заметим, что для изопараметрического элемента (см. (3.8))
ˆ
f(
ˆ
d
i
) = f(X ˆg
i
), J
τ
(
ˆ
d
i
) =
ˆ
D
i
X
T
, X
2×6
= (a
1
, a
2
, . . . , a
6
), (3.12)
для любой функции f. Здесь столбцами X являются координаты уз-
лов элемента τ.
Укажем две подходящие квадратурные формулы на ˆτ. Первая из
них имеет три узла (q
τ
= 3), является точной на полиномах суммар-
ной второй степени (
ˆ
P
2
) и имеет следующие узлы (середины сторон
ˆτ) и коэффициенты
d=[0 .5 0 . 5 0 c =[1 1 1]/6 .
0 0 . 5 0 . 5 ] ,
Другая квадратура точна на полиномах суммарной 4-ой степени (
ˆ
P
4
)
с q
τ
= 6. Ее узлы и коэффициенты имеют следующий вид:
a1=0.0915 76213 50977073 ; a2=0.0915 7621350977073 ;
68 Глава 3. Программирование сборки матриц МКЭ
и векторы столбцы gi = {φ̂β (dˆi )}6β=1 , а также числа Ci = ĉi |Jτ (dˆi )|,
τ
то kαβ можно записать в виде
∑
qτ ∑
qτ (
τ
kαβ = ĉi fˆ(dˆi ) = Ci ĉ(dˆi )Di (β) · Di (α)+
) )
i=1 i=1
(
ˆ ˆ
+ b̂(di ) · Di (β) + â(di )ĝiβ ĝiα ,
где Di (α) — столбец Di с номером α. Отсюда следует, что
∑
qτ ( ( ))
K =τ
Ci ˆ T ˆ ˆ T
ĉ(di )Di Di + gi b̂(di )Di + â(di )ĝi , (3.10)
i=1
поскольку x · y = xT y, xy T = {xi yj }ni,j=1 , x, y ∈ Rn . Здесь b̂ = (b̂1 , b̂2 )
— вектор строка.
Аналогично вычисляется вектор сил конечного элемента. Имеем:
∫ ∑ qτ
( )
Fα = f (x)φα (x) dx ≈
τ
ĉi fˆ(x̂)φ̂α (x̂) |Jτ (x̂)| (dˆi ),
τ i=1
∑
qτ
F =τ
Ci fˆ(dˆi )ĝi . (3.11)
i=1
Заметим, что для изопараметрического элемента (см. (3.8))
fˆ(dˆi ) = f (X ĝi ), Jτ (dˆi ) = D̂i X T , X2×6 = (a1 , a2 , . . . , a6 ), (3.12)
для любой функции f . Здесь столбцами X являются координаты уз-
лов элемента τ .
Укажем две подходящие квадратурные формулы на τ̂ . Первая из
них имеет три узла (qτ = 3), является точной на полиномах суммар-
ной второй степени (P̂2 ) и имеет следующие узлы (середины сторон
τ̂ ) и коэффициенты
d=[0 . 5 0 . 5 0 c =[1 1 1 ] / 6 .
0 0 .5 0 .5 ] ,
Другая квадратура точна на полиномах суммарной 4-ой степени (P̂4 )
с qτ = 6. Ее узлы и коэффициенты имеют следующий вид:
a1=0. 0 9 1 5 7 6 2 1 3 5 0 9 7 7 0 7 3 ; a2=0. 0 9 1 5 7 6 2 1 3 5 0 9 7 7 0 7 3 ;
