ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Введение
Операция вычисления пределов является фундаментальной в высшей
математике.
С помощью этой операции определяются производная функции, опре-
деленный и несобственный интегралы, сумма ряда и другие «инструмен-
ты» высшей математики. С помощью предела определяются такие физиче-
ские характеристики как плотность вещества в точке, скорость в данный
момент времени и т. д.
§ 1. Основные понятия и определения
Определение 1: Пределом функции у = f(x) при x, стремящемся к а
(
)x(f
ax→
lim
), называется число b (если оно существует) такое, что для
любой
ε
-окрестности точки b на оси y (
)
,
(
ε
b
U
∀
) найдется такая
δ
-
окрестность точки
a на оси x (
)
,
(
δ
a
U
∃
), что для любых значений x из
окрестности U(a,
δ
), не совпадающих с а (
∀
x
U
∈
(a,
δ
), ( x≠ a )), значения
функции y = f(x) будут принадлежать окрестности U(b,
ε
).
Коротко в символьных обозначениях это определение мы можем запи-
сать так:
b )(lim =
→
xf
ax
⇔
)
,
(
ε
b
U
∀
U
∃ (a,
δ
):
∀
x
U
∈
(a,
δ
), ( x
≠
a ): f(x) ∈ U(b,
ε
). (1)
x
y
b
a a
()
b
b
Если a и b конечные числа, то (1) можно записать в следующей форме
)(lim b=
→
xf
ax
⇔
∀
ε
> 0
∃
δ
(
ε
) > 0,
∀
x: x – a <
δ
, ( x
≠
a): f(x)– b <
ε
.
Введение
Операция вычисления пределов является фундаментальной в высшей
математике.
С помощью этой операции определяются производная функции, опре-
деленный и несобственный интегралы, сумма ряда и другие «инструмен-
ты» высшей математики. С помощью предела определяются такие физиче-
ские характеристики как плотность вещества в точке, скорость в данный
момент времени и т. д.
§ 1. Основные понятия и определения
Определение 1: Пределом функции у = f(x) при x, стремящемся к а
( lim f ( x ) ), называется число b (если оно существует) такое, что для
x→ a
любой ε -окрестности точки b на оси y ( ∀U ( b ,ε ) ) найдется такая δ -
окрестность точки a на оси x ( ∃U ( a ,δ ) ), что для любых значений x из
окрестности U(a, δ ), не совпадающих с а ( ∀ x∈ U (a, δ ), ( x ≠ a )), значения
функции y = f(x) будут принадлежать окрестности U(b, ε ).
Коротко в символьных обозначениях это определение мы можем запи-
сать так:
lim f ( x) = b ⇔ ∀U ( b ,ε ) ∃U (a, δ ): ∀ x∈ U (a, δ ), ( x ≠ a ): f(x) ∈ U(b, ε ). (1)
x→a
y
b
b
b
( ) x
a a
Если a и b конечные числа, то (1) можно записать в следующей форме
lim f ( x) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ( ε ) > 0, ∀ x: x a < δ , ( x ≠ a): f(x) b < ε .
x→a
3
