Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 4 стр.

Определение (1) универсально. Оно включает в себя и случаи, когда a и b
бесконечно большие, то есть больше любого заданного конечного числа.
Окрестность радиуса δ «бесконечно удаленной точки» обозначается как
   U( + ∞ , δ ) = { x: x > δ }, U( − ∞ , δ )={x: x < − δ }, U( ∞ , δ ) = { x: |x| > δ }.
   Запишем определение xlim           f (x) = b с помощью неравенств:
                                 → +∞

 lim f ( x ) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ( ε ) > 0, ∀ x: x > δ : f(x) – b < ε .               (1.1)
x → +∞
    Рассматривая числовую последовательность xn как частный случай
функции, аргументом которой являются натуральные числа, запишем оп-
ределение предела последовательности xn при n → ∞ аналогично (1.1):
   lim xn = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N( ε ), ∀n > N : xn − b < ε .           (1.2)
  n→∞
   Геометрически запись (1.2) означает, что какую бы сколь угодно малую
окрестность точки b мы ни взяли, найдется номер N, начиная с которого
все элементы последовательности xn , будут принадлежать этой окрестности.
                                                                                 ( −1 ) n
   Посмотрите на таблицу значений последовательности                      xn =
                                                                             ,
                                                                        n2
найдите число, «объединяющее» по каким-либо признакам все числа из
правого столбца.
   Да, это число 0, так как с увеличением номера n элементы последова-
 N       xn               тельности xn стремятся к числу 0. Чтобы узнать
 1       –1               будет ли 0 пределом нашей последовательности,
 2       0,2500           необходимо проверить: выполняется ли для x n
 3       – 0,1111         предложение (1.2) при b = 0.
 4       0,0625               Ответ на этот вопрос можно получить, решив
 5       – 0,0400         неравенство | xn |\<\ ε относительно n, то есть при
                          произвольном положительном ε найти все зна-
 10      0,0100           чения n, при которых неравенство будет верным.
 11      – 0,0082          ( −1 )n              1               1
 12      0,0069                    < ε \⇒          <ε ⇒ n>         . Решение
                             n 2
                                              n  2
                                                                 ε
 13      – 0,0059
 14      0,0051           найдено: какое бы как угодно малое ε мы ни
 15      – 0,0044         взяли, найдется N, равный целой части 1 / ε ,
                          что для всех n\> N расстояние между нулем и
 100     0,0001           элементами xn нашей последовательности будет
                          меньше заданного ε . А это означает, что
 1000 0,000001             lim xn = 0 .
                              n→∞




                                           4