Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Заметим, что если
limf( ) ,
xa
x
b
→
=
то функция
α
(x)=f(x) – b является БМ
при x
→a, а функцию f(x) мы можем представить в виде f(x) = b +
α
(x), где
0(x)
ax
=
→
α
lim
.
Этот раздел мы закончим определениями одностороннего предела и
непрерывности функции.
Введем новые обозначения. Символ x
→a + 0 означает, что x стремит-
ся к a справа, оставаясь правее a, а символ x
→a – 0 означает, что x стре-
мится к a слева, оставаясь левее a.
Определение 4:
b =
0
lim
+→ax
f(x)
⇔
∀
ε
> 0 ∃
δ
(
ε
) > 0,
∀
x : 0 < x – a <
δ
, f(x) – b <
ε
.
Число
b называется правосторонним пределом в точке a.
Определение 5:
b =
0
lim
−→ax
f (x) ⇔
∀
ε
> 0 ∃
δ
(
ε
) > 0,
∀
x : 0 < a – x <
δ
, f(x) – b <
ε
.
Число b называется левосторонним пределом в точке a.
Определение 6: Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
предел функции при x
→a существует и равен частному значению функ-
ции в этой точке
f(a):
(a)
f(x)
ax
=
→
lim
. (1.3)
Определение 7: Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в
точке a
, если
)lim(lim
00
f(a)f(x)f(a)f(x)
axax
=
=
−→+→
.
Основные элементарные функции: степенная x
α
, показательная a
x
,
логарифмическая
x
a
log , тригонометрические sin\x, cos\x, tg\x, ctg\x, обрат-
ные им arcsin\
x, arcos\x, arctg\x, arcctg\x; суперпозиция непрерывных функ-
ций
y = f(x), x = g(t): y = f(g(t)) (сложная функция) – непрерывны в каждой
точке области определения.
Элементарные функции (получаемые из основных элементарных
функций посредством конечного числа арифметических операций и супер-
позиций)
непрерывны в каждой точке области определения.
§ 2. Свойства функций, имеющих предел
2.1. Предельный переход в непрерывных функциях
Так как функция y = x непрерывна на всей числовой оси (ее можно рас-
сматривать как степенную
y=
x
α
при 1
=
α
), то
ax
ax
=
→
lim
. 
   Заметим, что если limf( x) = b, то функция α (x)=f(x) – b является БМ
                        x→a
при x → a, а функцию f(x) мы можем представить в виде f(x) = b + α (x), где
lim α (x) = 0 .
x→a
    Этот раздел мы закончим определениями одностороннего предела и
непрерывности функции.
    Введем новые обозначения. Символ x → a + 0 означает, что x стремит-
ся к a справа, оставаясь правее a, а символ x → a – 0 означает, что x стре-
мится к a слева, оставаясь левее a.
Определение 4:
b = lim f(x) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ( ε ) > 0, ∀ x : 0 < x – a < δ ,    f(x) – b   <ε.
      x →a + 0
Число b называется правосторонним пределом в точке a.
Определение 5:
b = lim f (x) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ( ε ) > 0, ∀ x : 0 < a – x < δ ,   f(x) – b   <ε.
      x →a − 0
Число b называется левосторонним пределом в точке a.
Определение 6: Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
предел функции при x → a существует и равен частному значению функ-
ции в этой точке f(a):
                           lim f(x) = f (a) .                  (1.3)
                               x→a

Определение 7: Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в
точке a, если
                  lim f(x) = f(a) ( lim f(x) = f(a)) .
                     x→a +0            x→a −0

   Основные элементарные функции: степенная x α, показательная ax,
логарифмическая log a x , тригонометрические sin\x, cos\x, tg\x, ctg\x, обрат-
ные им arcsin\x, arcos\x, arctg\x, arcctg\x; суперпозиция непрерывных функ-
ций y = f(x), x = g(t): y = f(g(t)) (сложная функция) – непрерывны в каждой
точке области определения.
   Элементарные функции (получаемые из основных элементарных
функций посредством конечного числа арифметических операций и супер-
позиций) непрерывны в каждой точке области определения.

§ 2. Свойства функций, имеющих предел
2.1. Предельный переход в непрерывных функциях
   Так как функция y = x непрерывна на всей числовой оси (ее можно рас-
сматривать как степенную y= x α при α = 1 ), то lim x = a .
                                                 x→a

                                      6

Страницы