Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
4.
Найти
1
21
lim
2
1
+
−+
−→
x
x)x(
x
= 0
2
0
)(
)())((
==
+−
−−+−
11
1211
2
{функция непрерывна... подставляем ... x =
–1...}.
2.3. Вычисление пределов степенно-показательных функций
0],[ >= )xu()xu(y
)x(v
.
Такой функции нет среди основных элементарных функций, и на пер-
вый взгляд она не подходит под определение элементарной. Поэтому
сформулированные выше свойства и правила не дают нам рецепта вычис-
ления предела такого вида функции.
Однако среди основных элементарных функций есть показательная
y\=\a
x
,
(a\>|0) и степенная – y|=\x
α
, (x\>\0), по форме похожие на нашу
функцию (отсюда и название). Основное логарифмическое тождество (оно
же – определение логарифма)
zln
ez
=
позволяет нашу функцию привести
к виду
)x(
ey
ϕ
= , то есть к показательной функции, показатель которой –
функция.
Для большей наглядности основное логарифмическое тождество запи-
шем в символах, используемых в алгоритмических языках: z = exp(
ln(z)).
Последовательное действие
ln и exp на любой объект z (z\>\0) не изменяет
его, так как
ln и exp – взаимно-обратные функции, удовлетворяющие ус-
ловию
x))x(f(f =
−1
или
x))x(f(f =
−
1
. Здесь и далее
)y(fx
1−
=
обо-
значается функция, обратная функции y = f(x).
Итак, займемся преобразованием нашей функции:
=== }exp{ )u(uy
vv
ln {показатель степени v вынесем за символ ln} =
}exp{ u
v
ln {аргумент x опущен для упрощения записи}.
Тогда
=⋅==
→→→
}][exp{lim)}][exp{lim][lim )xu(v(x)(u)xu(
axaxax
v
)x(v
lnln
{поскольку exp(…) функция непрерывная, то по свойству (1.3
*
) символ
«lim»юиюсимвол «exp» можно поменять местами}
=
=
⋅
=⋅
→→→
]limlim[}]{limexp[ u(x)v(x)exp)xu(v(x)
axaxax
lnln
{мы использовали свойство (2.1) в предположении, что оба этих предела
конечны (другие варианты рассмотрим позже). Если
u(x) и v(x) непрерыв-
ны в точке x = a
, то согласно (1.3) оба предела равны частному значению
функций при x = a}
=⋅= ]exp[
)
a
(
uv(a) ln
{преобразуем полученный ответ к виду изначальной функции. Для этого
внесем v(a) под ln}
)a(v)a(v
)au()au( == ][expln
{так как exp и ln функции взаимообратные, следовательно, expln(z) = z}. 
                   ( x + 1 ) 2 − x (( −1 ) + 1 ) 2 − ( −1 ) 0
   4. Найти lim                   =                        = =0
            x → −1      x2 + 1            ( −1 )2 + 1       2
   {функция непрерывна... подставляем ... x = –1...}.

2.3. Вычисление пределов степенно-показательных функций
                                y = [u( x )v( x ) ], u( x ) > 0 .
    Такой функции нет среди основных элементарных функций, и на пер-
вый взгляд она не подходит под определение элементарной. Поэтому
сформулированные выше свойства и правила не дают нам рецепта вычис-
ления предела такого вида функции.
    Однако среди основных элементарных функций есть показательная
y\=\ax, (a\>|0) и степенная – y|=\xα, (x\>\0), по форме похожие на нашу
функцию (отсюда и название). Основное логарифмическое тождество (оно
же – определение логарифма) z = e ln z позволяет нашу функцию привести
к виду y = eϕ ( x ) , то есть к показательной функции, показатель которой –
функция.
    Для большей наглядности основное логарифмическое тождество запи-
шем в символах, используемых в алгоритмических языках: z = exp(ln(z)).
Последовательное действие ln и exp на любой объект z (z\>\0) не изменяет
его, так как ln и exp – взаимно-обратные функции, удовлетворяющие ус-
ловию f ( f −1( x )) = x или f −1( f ( x )) = x . Здесь и далее x = f −1( y ) обо-
значается функция, обратная функции y = f(x).
    Итак, займемся преобразованием нашей функции:
 y = u v = exp{ln( u v )} = {показатель степени v вынесем за символ ln} =
exp{vlnu} {аргумент x опущен для упрощения записи}.
   Тогда lim [u( x )]v( x ) = lim [exp{ln(u v )}] = lim [exp{v(x) ⋅ ln u( x )}] =
           x→a                x→a                    x →a
{поскольку exp( ) функция непрерывная, то по свойству (1.3*) символ
«lim»юиюсимвол «exp» можно поменять местами}
 = exp[ lim {v(x) ⋅ ln u( x )}] = exp[ lim v(x) ⋅ lim ln u(x)] =
       x→a                          x→a        x→a
{мы использовали свойство (2.1) в предположении, что оба этих предела
конечны (другие варианты рассмотрим позже). Если u(x) и v(x) непрерыв-
ны в точке x = a, то согласно (1.3) оба предела равны частному значению
функций при x = a}
= exp[v(a) ⋅ ln u( a )] =
{преобразуем полученный ответ к виду изначальной функции. Для этого
внесем v(a) под ln}
= expln[u( a )v( a ) ] = u( a )v( a )
{так как exp и ln функции взаимообратные, следовательно, expln(z) = z}.
                                      8

Страницы