Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Учитывая это, определение непрерывности (1.3) можно записать в виде
).xf(f(x)
axax →→
=
limlim
(1.3
*
)
Формула (1.3*) определяет главное свойство предела непрерывных
функций:
для непрерывной функции символ «lim» предельного перехода
и символ «f» характеристики функции можно менять местами
.
2.2. Предельный переход в арифметических операциях
Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы
bf(x)
ax
=
→
lim
, cg(x)
ax
=
→
lim ,
то
[]
cbg(x)f(x)g(x)f(x)
axaxax
±
=
±
=
±
→→→
limlimlim
[]
cbg(x)f(x)g(x)f(x)
axaxax
⋅
=
⋅=⋅
→→→
limlimlim (2.1)
0)(,
lim
lim
lim ≠==
→
→
→
c
c
b
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
a
x
ax
ax
Эти свойства в дальнейшем будем именовать «арифметикой пределов».
Примеры.
1. f(x) = A – константа. Т. к. f(x) – непрерывна, то из (1.3) имеем
A)a(f)x(f
ax
==
→
lim
.
2.
f(x) = A – константа,
c)xg(
ax
=
→
lim
.
.cAg(x)A.смg(x)Ag(x)A
axaxaxax
⋅
=
⋅
=
=
⋅=⋅
→→→→
lim(2.1)}{limlim][lim
Этот пример позволяет нам сформулировать свойство, являющееся част-
ным случаем (2.1):
константу можно выносить за символ предельного
перехода
«lim», т. е.
[]
f(x)Af(x)A
axax →→
⋅
=
⋅ limlim
(2.2)
3.
Найти
6
23
lim
2
23
2
+−
−+
−→
x
x
xxx
x
=
{функция непрерывна, следовательно, ее предел равен частному значению
функции в т. x =
–2. Подставляем в выражение под знаком предела вместо
x число (
–2) и производим вычисления}
=
622
22232
2
23
+−−−
−−−+−
)()(
)()()(
=
3
2
12
8
= . 
     Учитывая это, определение непрерывности (1.3) можно записать в виде
                             lim f(x) = f( lim x ).                 (1.3*)
                                           x→a             x→a
   Формула (1.3*) определяет главное свойство предела непрерывных
функций: для непрерывной функции символ «lim» предельного перехода
и символ «f» характеристики функции можно менять местами.

2.2. Предельный переход в арифметических операциях

   Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы
lim f(x) = b , lim g(x) = c ,
x→a               x→a
то
     lim [ f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = b ± c
  x→a                       x→a           x→a
     lim [ f(x) ⋅ g(x)] = lim f(x) ⋅ lim g(x) = b⋅ c                         (2.1)
     x→a                    x→a          x→a

           f(x) xlim
                   →a
                       f(x) b
     lim        =          = , (c ≠ 0)
     x → a g(x)   lim g(x) c
                    x→a
     Эти свойства в дальнейшем будем именовать «арифметикой пределов».

Примеры.

     1. f(x) = A – константа. Т. к. f(x) – непрерывна, то из (1.3) имеем
         lim f ( x ) = f ( a ) = A .
         x→a
     2. f(x) = A – константа, lim g( x ) = c .
                                         x→a
lim [ A⋅ g(x) ] = lim A ⋅ lim g(x) = {см . (2.1)} = A ⋅ lim g(x) = A ⋅ c .
x→a                  x→a          x→a                            x→a


  Этот пример позволяет нам сформулировать свойство, являющееся част-
ным случаем (2.1): константу можно выносить за символ предельного
перехода «lim», т. е.
      lim [ A ⋅ f(x)] = A ⋅ lim f(x)                            (2.2)
           x→a                     x→a
                             3       2
                     x + 3x − 2 x
     3. Найти         lim         =
               x → −2 x 2 − x + 6
{функция непрерывна, следовательно, ее предел равен частному значению
функции в т. x = –2. Подставляем в выражение под знаком предела вместо
x число (–2) и производим вычисления}
            ( −2 )3 + 3( −2 )2 − 2( −2 )            8 2
        =                                      =     = .
                 ( −2 ) 2 − ( − 2 ) + 6            12 3

                                                     7

Страницы