Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
(
)
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
10
,
10
,
0
n
x
3
x
4
x
5
x
2
x
При
10,ε =
3
=
∃N
, такой что все (бесконечное множество)
n
x , начиная
с
4
x
:
4
x
,
5
x
,
6
x
, … ,
100
x
, …, лежат в
ε
-окрестности точки 0.
()
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
010
,
010
,
0
n
x
11
x
13
x
10
x
12
x
9
x
8
x
При
010,=
ε
10=∃N , такой что все (бесконечное множество)
n
x , начиная с
11
x :
11
x ,
12
x
,
13
x , … ,
100
x
, …, лежат в
ε
-окрестности точки 0.
С увеличением номера
n, точки, соответствующие
n
x , начинают сгу-
щаться около точки 0.
Определение 2: Последовательности, имеющие
lim
n
n
x
∞→
= 0, называ-
ются
бесконечно малыми (БМ), а имеющие
,
∞
=
∞→
lim
n
n
x
называются бес-
конечно большими
(ББ).
Определение 3: Функции, имеющие
lim 0)xf(
ax
=
→
, называются БМ при
x
→
a. Если
lim ∞=
→
)xf(
ax
, то такие функции называются ББ при x
→
a.
БМ последовательности и функции обычно обозначают греческими бу-
квами, например
α
n
или
α
(x) при x→a. Для БМ и ББ функций необходи-
мо указание на то, к какому числу стремится их аргумент (функция y = x
2
является БМ при x
→0 , но ББ при x
+
∞→ и при x
−
∞→ ).
Для последовательности это не обязательно, так как предел последова-
тельности мы всегда рассматриваем при стремлении номера
n к бесконеч-
ности.
Свойство функции быть БМ при x
→a является «динамическим». Оно
показывает, что значения функции
стремятся к 0 (не обязательно моно-
тонно) при
стремлении аргумента к точке a. Для ББ при x→a
(
∞=
→
)x(f
ax
lim
) модуль значения функции неограниченно возрастает в ди-
намике движения аргумента к точке
a.
Линия графика БМ функции при x
→a (
∞
→
x
) все более прижимается
к оси
х при движении аргумента x к точке a (или
∞
).
Линия графика ББ функции при x
→a (
∞
→
x
) все более удаляется от
оси
х при движении аргумента x к точке a (
∞
) (подробнее см. свойство 2
стр. 9 и графики основных элементарных функций (приложение 2)). 
        x3                      x5              x4                       x2
             (/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / )           xn
             0, 1                      0                       0, 1
  При ε = 0,1 ∃N = 3 , такой что все (бесконечное множество) xn , начиная
с x4 : x4 , x5 , x6 , , x100 , , лежат в ε -окрестности точки 0.
   x9               x11                                  x12 x10 x8
             ( / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /)           xn
        0, 01             x13          0                       0, 01
При ε = 0,01 ∃N = 10 , такой что все (бесконечное множество) xn , начиная с
x11 : x11 , x12 , x13 , , x100 , , лежат в ε -окрестности точки 0.
  С увеличением номера n, точки, соответствующие xn , начинают сгу-
щаться около точки 0.

   Определение 2: Последовательности, имеющие lim xn = 0, называ-
                                                                       n→∞
ются бесконечно малыми (БМ), а имеющие lim xn = ∞, называются бес-
                                                               n→∞
конечно большими (ББ).
  Определение 3: Функции, имеющие lim f( x ) = 0 , называются БМ при
                                                        x→a
x → a. Если lim f( x ) = ∞ , то такие функции называются ББ при x → a.
                 x→a


    БМ последовательности и функции обычно обозначают греческими бу-
квами, например α n или α (x) при x → a. Для БМ и ББ функций необходи-
мо указание на то, к какому числу стремится их аргумент (функция y = x2
является БМ при x → 0 , но ББ при x → +∞ и при x → −∞ ).
    Для последовательности это не обязательно, так как предел последова-
тельности мы всегда рассматриваем при стремлении номера n к бесконеч-
ности.
    Свойство функции быть БМ при x → a является «динамическим». Оно
показывает, что значения функции стремятся к 0 (не обязательно моно-
тонно) при стремлении аргумента к точке a. Для ББ при x → a
( lim f ( x ) = ∞ ) модуль значения функции неограниченно возрастает в ди-
 x →a
намике движения аргумента к точке a.
   Линия графика БМ функции при x → a ( x → ∞ ) все более прижимается
к оси х при движении аргумента x к точке a (или ∞ ).
   Линия графика ББ функции при x → a ( x → ∞ ) все более удаляется от
оси х при движении аргумента x к точке a ( ∞ ) (подробнее см. свойство 2
стр. 9 и графики основных элементарных функций (приложение 2)).
                                                  5

Страницы