Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Итак, если функции u(x) и v(x) непрерывны в точке x = a, то
.)a(u)x(u
)a(v)x(v
ax
][][lim =
→
Пример.
5. 4.2)()x(
x
x
==−=−
++
→
2111
1
133lim
2
В дальнейшем для получения результата
используйте (там, где это
необходимо)
преобразования формы (вида) математического выраже-
ния, не изменяющие его значения.
В дальнейших примерах нам потребу-
ются преобразования:
,aazz −+= «прибавить – отнять (+
–)»,
),0(, ≠
⋅
= a
a
az
z «умножить – разделить (⋅/) », (2.3)
0),(,
1
>== z)z()z(z
n/nn
n
«возвести в степень – извлечь корень»,
z = explnz, (z > 0), «логарифмировать – потенцировать (expln)».
Частным случаем преобразования (·/) является свойство преобразования
дробей: значение дроби не измениться, если числитель и знаменатель дро-
би умножить ( разделить) на a.
a/d
a/c
ad
ac
d
c
=
⋅
⋅
= .
Заметим, что на месте
z, a и n в преобразованиях (2.3) могут быть лю-
бые математические выражения.
2.4. Свойства БМ функций
Свойство 1: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
БМ функций, а также произведение ограниченной (в окрестности т. a)
функции на
БМ являются БМ функциями.
Свойство 2: Если
)
x
(
α
– БМ функция при x→a (и 0≠
)
x
(
α
в окре-
стности т. a), то функция
)
x
(
/
)
x
(
α
1
=
– ББ при x→a, и наоборот
если f(x) –
ББ функция при x →a, то
)
x
(
/
)
x
(
1
=
α
– БМ при x →a.
Последнее свойство в символической форме, применяемой для сокра-
щения записи, выглядит так:
a)
0)(c,
0
>+∞=
+
c
{означает
ax→
lim
+∞=
)x(
c
α
, где
0lim +=
→
)x(
ax
α
, то есть
)
x
(
α
стремится к 0, оставаясь положительной, например,
0lim
2
0
+=
→
x
x
}; 
   Итак, если функции u(x) и v(x) непрерывны в точке x = a, то
                        lim [u( x )]v( x ) = [u( a )]v( a ) .
                                    x→a
   Пример.
                      2 +1
   5. lim( 3 − x )x          = ( 3 − 1 )1+1 = 2 2 = 4.
         x →1


   В дальнейшем для получения результата используйте (там, где это
необходимо) преобразования формы (вида) математического выраже-
ния, не изменяющие его значения. В дальнейших примерах нам потребу-
ются преобразования:
      z = z + a − a, «прибавить – отнять (+–)»,
          z⋅a
      z=       , (a ≠ 0), «умножить – разделить (⋅/) »,       (2.3)
            a
         z = n ( z )n = ( z n )1 / n , ( z > 0), «возвести в степень – извлечь корень»,
      z = explnz, (z > 0), «логарифмировать – потенцировать (expln)».
Частным случаем преобразования (·/) является свойство преобразования
дробей: значение дроби не измениться, если числитель и знаменатель дро-
би умножить ( разделить) на a.
       c c⋅a c/ a
         =      =       .
       d d ⋅a d / a
   Заметим, что на месте z, a и n в преобразованиях (2.3) могут быть лю-
бые математические выражения.

2.4. Свойства БМ функций

  Свойство 1: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
БМ функций, а также произведение ограниченной (в окрестности т. a)
функции на БМ являются БМ функциями.

   Свойство 2: Если α ( x ) – БМ функция при x → a (и α ( x ) ≠ 0 в окре-
стности т. a), то функция f ( x ) = 1 /α ( x ) – ББ при x → a, и наоборот
если f(x) – ББ функция при x → a, то α ( x ) = 1 / f ( x ) – БМ при x → a.
   Последнее свойство в символической форме, применяемой для сокра-
щения записи, выглядит так:
       c                                 c
 a)      = +∞, (c > 0) {означает lim          = +∞ , где lim α ( x ) = +0 , то есть
      +0                         x→ a α ( x )            x →a
  α ( x ) стремится к 0, оставаясь положительной, например,
  lim x 2 = +0 };
  x →0


                                                    9

Страницы