Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
{Первое естественное наше действие – используя определение непрерыв-
ности функции (1.3), подставить предельное значение x = 1 в выражение
под знаком lim и вычислить (если это возможно) значение этого выраже-
ния (как это было в примерах 3–5). После подстановки получим
11
1
−
. Но
вычислить значение этого выражения невозможно, так как деление на 0
запрещено. В т. x = 1 функция
x
x
−1
терпит разрыв II рода. Значит, в
нашем примере неприменимо правило
вычисления пределов непрерывных
функций и «арифметика пределов»
(предел числителя = 1, предел зна-
менателя = 0). Коль предел знаме-
нателя
01lim
1
=
−
→
)x(
x
, то функция,
стоящая в знаменателе – БМ. Это за-
ставляет нас обратиться к свойствам
БМ, одно из которых (свойство 2) по-
может нам найти предел. Конкретно наш предел походит под случай, изо-
бражаемый в символьной записи как
∞=
0
c
}.
Итак,
∞=
−
→
x
x
x
1
lim
1
. Функция
x
x
−1
– ББ при x 1→ .
6.1.
+∞=
−
−→
x
x
x
1
lim
01
{x 01−→ означает, что т.
x движется к 1 слева, то есть, оставаясь все время
меньше 1. Следовательно, в окрестности (0,1) знаменатель (1
– x) стремит-
ся к 0, оставаясь положительным. Это случай
+∞=
+
0
c
}.
6.2.
−∞=
−
+→
x
x
x
1
lim
01
{x 01+→ означает, что т.
x движется к 1 справа (x\>\1). Следовательно,
знаменатель (1
– x) стремится к 0, оставаясь отрицательным. Это случай
−∞=
− 0
c
}.
Линия графика функции
x
x
y
−
=
1
уходит вверх в область все больших
значений, когда x движется к 1 слева, и уходит вниз, когда x движется к 1
справа.
-
2
2-
4
4
x
-
4
-
2
-
1
1
2
4
y
x
x
y
−
=
1
{Первое естественное наше действие – используя определение непрерыв-
ности функции (1.3), подставить предельное значение x = 1 в выражение
под знаком lim и вычислить (если это возможно) значение этого выраже-
                                                                     1
ния (как это было в примерах 3–5). После подстановки получим            . Но
                                                                    1−1
вычислить значение этого выражения невозможно, так как деление на 0
              y
                                запрещено. В т. x = 1 функция
                           x
                     y=                x
                          1− x             терпит разрыв II рода. Значит, в
                4                     1− x
                                      нашем примере неприменимо правило
                2                     вычисления пределов непрерывных
                1                     функций и «арифметика пределов»
     -4   -2         2       4
                                  x   (предел числителя = 1, предел зна-
               -1                     менателя = 0). Коль предел знаме-
               -2                     нателя lim( 1 − x ) = 0 , то функция,
                                              x →1
               -4                       стоящая в знаменателе – БМ. Это за-
                                        ставляет нас обратиться к свойствам
                                        БМ, одно из которых (свойство 2) по-
может нам найти предел. Конкретно наш предел походит под случай, изо-
                                          c
бражаемый в символьной записи как = ∞ }.
                                          0
               x                  x
Итак, lim          = ∞ . Функция       – ББ при x → 1.
        x →1 1 − x               1− x
               x
6.1. lim           = +∞
     x →1− 0 1 − x
{x → 1− 0 означает, что т. x движется к 1 слева, то есть, оставаясь все время
меньше 1. Следовательно, в окрестности (0,1) знаменатель (1 – x) стремит-
                                                    c
ся к 0, оставаясь положительным. Это случай           = +∞ }.
                                                   +0
               x
6.2. lim           = −∞
     x →1+ 0 1 − x
{x → 1+ 0 означает, что т. x движется к 1 справа (x\>\1). Следовательно,
знаменатель (1 – x) стремится к 0, оставаясь отрицательным. Это случай
 c
    = −∞ }.
−0
                                      x
   Линия графика функции y =               уходит вверх в область все больших
                                   1− x
значений, когда x движется к 1 слева, и уходит вниз, когда x движется к 1
справа.


                                      11

Страницы