Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
9.
12
1
lim
2
2
+
−
+∞→
x
x
x
=
{воспользовавшись «арифметикой
∞
» (2.4) для числителя и знаменателя
(
+∞=−+∞+∞=−
+∞→
11lim
2
))(()x(
x
;
+∞=++∞+∞=+
+∞→
1212lim
2
))(()x(
x
),
получаем дробь вида
∞
∞
. «Арифметикой
∞
» такое действие не предусмот-
рено, а такая ситуация называется «неопределенность вида
∞
∞
». Внима-
тельно посмотрев на выражение под символом предела мы замечаем, что
носителем неопределенности в числителе является
2
x
– именно он стре-
мится к
∞ , когда ∞→
x
. И в знаменателе носителем неопределенности яв-
ляется
2
x
. Естественно желание избавиться от этой неопределенности, в
чем нам поможет опыт решения предыдущего примера. Поэтому
ДО вы-
полнения операции предельного перехода, пока аргумент x принимает еще
конечные действительные значения (где работают правила обычной
школьной арифметики), мы разделим и числитель и знаменатель на
2
x
(см. преобразования 2.3), получим}
=
2
1
02
01
2
1
(2
(1
2
1
2
2
2
2
2
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
xx
xx
x
x
x
)
)
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
limlim
limlim
lim
lim
lim
{
0
x
1
2
x
+=
+∞→
lim относится к случаю 0+=
∞
+
c
}.
Сокращение на
2
x
дроби можно сделать, почленно разделив на
2
x
числи-
тель и знаменатель дроби (см. 2.3):
2
2
22
2
22
2
2
1
2
2
1
2
x
1
x
1
x
1
x
x2
x
1
x
x
x
x2
x
x
2
1
1x
1x
+
−
=
+
−
==
+
−
+
−
2
2
2
.
Это же сокращение на
2
x
можно сделать, вынося общий множитель
2
x
за
скобку в числителе и знаменателе, а затем вынесенные множители сокра-
тив.
Вынесение общего множителя за скобку – операция частая, но не оче-
видная.
Рекомендации. В рассматриваемом примере наши очи не видят общего
множителя
2
x
во втором слагаемом в числителе (–1) и во втором слагае-
мом в знаменателе (+1). Но если нет общего множителя у всех слагаемых,
а его нужно выносить за скобки, станьте хозяевами положения и сами соз-
дайте недостающие общие множители у всех слагаемых. Для этого ум-
ножьте каждое из этих слагаемых на
общий множитель, который нужно 
           x2 − 1
9. lim            =
  x → +∞2x2 + 1
{воспользовавшись «арифметикой ∞ » (2.4) для числителя и знаменателя
( lim ( x 2 − 1 ) = ( +∞ )( +∞ ) − 1 = +∞ ; lim ( 2 x 2 + 1 ) = 2( +∞ )( +∞ ) + 1 = +∞ ),
 x → +∞                                      x → +∞
                         ∞
получаем дробь вида        . «Арифметикой ∞ » такое действие не предусмот-
                         ∞
                                                               ∞
рено, а такая ситуация называется «неопределенность вида         ». Внима-
                                                               ∞
тельно посмотрев на выражение под символом предела мы замечаем, что
носителем неопределенности в числителе является x 2 – именно он стре-
мится к ∞ , когда x → ∞ . И в знаменателе носителем неопределенности яв-
ляется x 2 . Естественно желание избавиться от этой неопределенности, в
чем нам поможет опыт решения предыдущего примера. Поэтому ДО вы-
полнения операции предельного перехода, пока аргумент x принимает еще
конечные действительные значения (где работают правила обычной
школьной арифметики), мы разделим и числитель и знаменатель на x 2
(см. преобразования 2.3), получим}
         1 − 12    lim (1 − 12 )     lim 1 − lim 12
             x =   → +∞     x               x → +∞ x   1−0 1
= lim            x
                                 = → +∞
                                   x
                                                     =    =
  x → +∞ 2 + 1    lim (2 + 1 ) lim 2 + lim 1 2 + 0 2
                x2   x → +∞   x2    x → +∞        x → +∞   x2
           1                         c
{ lim           = +0 относится к случаю= +0 }.
  x → +∞ x  2                       +∞
Сокращение на x 2 дроби можно сделать, почленно разделив на x 2 числи-
тель и знаменатель дроби (см. 2.3):
                   x 2 −1 x2 − 1     1−           1
           2
           x −1     x 2
                          x 2
                               x 2
                                                  x2 .
                 = 2 = 2           =
          2x2 + 1 2 x +1 2 x + 1 2 +               1
                    x2    x2    x2                x2
Это же сокращение на x 2 можно сделать, вынося общий множитель x 2 за
скобку в числителе и знаменателе, а затем вынесенные множители сокра-
тив.
   Вынесение общего множителя за скобку – операция частая, но не оче-
видная.
   Рекомендации. В рассматриваемом примере наши очи не видят общего
множителя x 2 во втором слагаемом в числителе (–1) и во втором слагае-
мом в знаменателе (+1). Но если нет общего множителя у всех слагаемых,
а его нужно выносить за скобки, станьте хозяевами положения и сами соз-
дайте недостающие общие множители у всех слагаемых. Для этого ум-
ножьте каждое из этих слагаемых на общий множитель, который нужно

                                             13

Страницы