Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
выносить за скобку. При этом не забудьте тут же разделить эти слагаемые
на этот же общий множитель, чтобы не изменить значение преобразуемого
выражения:
2
2
2
2
2
2
2
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1x
x
1x
2
1
)(2x
)(1x
x2
x
1x2
1x
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+⋅
−⋅
=
+⋅
−
=
+
−
⋅
⋅
.
10.
6
x
x
x2x3x
2
23
x
−−
++
−→ 2
lim =
{подстановка x =
–2 дает неопределенность
0
0
, однако в отличие от приме-
ров 8 и 9 носитель этой неопределенности здесь явно не виден. Наша зада-
ча – выявить его, вынести в качестве множителя в числителе и знаменателе
и сократить дробь на этот общий множитель.
Пояснение: Источник неопределенности находится в маленькой подстроч-
ной записи в символе операции предельного перехода
ax→
lim
. Запись a
x
→ оз-
начает, что расстояние между x и a стремится к 0, то есть
0→− ax . Именно
разность
(x – a) является источником неопределенности
0
0
.
В нашем примере x
→ –2, следовательно, источник неопределенности –
(x
– (–2)) = (x + 2). Вынесем его в качестве множителя в числителе и зна-
менателе, для этого, вспомнив
рекомендации на стр. 13 по созданию об-
щего множителя, умножим и разделим на (x + 2) сначала числитель, затем
знаменатель} =
=
+
+
=
+
−−
+
++
−→
2
x
6xx
2x
x2x3x
2
23
x
2)(x
2)(x
2
lim
{Сократив всю дробь на (x + 2), дроби в числителе и знаменателе можно
непритязательно разделить столбиком по правилам деления многочлена на
многочлен. Более рациональный и элегантный способ – разложить числи-
тель и знаменатель на множители: 2)x3x(xx2x3x
223
++=++ . По теоре-
ме Виета корни квадратного трехчлена в скобках удовлетворяют равенст-
вам 2xx
21
+=⋅ ; 3−=
+
21
xx ; число 2 можно представить как 2)
(
1)
(
2
−
⋅
−=
или
212 ⋅= . Сумма первой пары чисел 32)
(
1 −=−
+
−
, зна-
чит
2x1x
1
−=−=
2
;. Следовательно
2)1)(xx(x2))(x1))((x(xxxx ++=−−−−=++ 23
23
;
3)2)(x(x6xx
2
−+=−− . 
выносить за скобку. При этом не забудьте тут же разделить эти слагаемые
на этот же общий множитель, чтобы не изменить значение преобразуемого
выражения:
                                2
             2           x 2 − x 2⋅1      x 2 ⋅ (1 − 12 )   1 − 12
        x −1                     x              x       x .
                    =                  = 2          =
       2x +1 2                     2             1       1
                        2 ⋅ x 2 + x 2⋅1 x ⋅ (2 + 2 ) 2 + 2
                                   x            x       x
             x3 + 3 x2 + 2 x
10. lim                         =
    x → −2       x 2 − x− 6
{подстановка x = –2 дает неопределенность 0 , однако в отличие от приме-
                                                              0
ров 8 и 9 носитель этой неопределенности здесь явно не виден. Наша зада-
ча – выявить его, вынести в качестве множителя в числителе и знаменателе
и сократить дробь на этот общий множитель.

Пояснение: Источник неопределенности находится в маленькой подстроч-
ной записи в символе операции предельного перехода lim . Запись x → a оз-
                                                                     x→a
начает, что расстояние между x и a стремится к 0, то есть x − a → 0 . Именно
разность (x – a) является источником неопределенности 0 .
                                                                     0
   В нашем примере x → –2, следовательно, источник неопределенности –
(x – (–2)) = (x + 2). Вынесем его в качестве множителя в числителе и зна-
менателе, для этого, вспомнив рекомендации на стр. 13 по созданию об-
щего множителя, умножим и разделим на (x + 2) сначала числитель, затем
знаменатель} =
                            3     2
                   (x + 2) x + 3 x + 2 x
       = lim                    x+ 2        =
          x → −2             x 2 − x −6
                     (x + 2)
                                x+ 2
{Сократив всю дробь на (x + 2), дроби в числителе и знаменателе можно
непритязательно разделить столбиком по правилам деления многочлена на
многочлен. Более рациональный и элегантный способ – разложить числи-
тель и знаменатель на множители: x 3 + 3 x 2 + 2 x = x(x 2 + 3 x + 2) . По теоре-
ме Виета корни квадратного трехчлена в скобках удовлетворяют равенст-
вам x1 ⋅ x2 = +2 ; x1 + x2 = −3 ; число 2 можно представить как 2 = ( −1) ⋅ ( −2)
или 2 = 1 ⋅ 2 . Сумма первой пары чисел − 1 + ( −2) = −3 , зна-
чит x1 = −1; x2 = −2 . Следовательно
x 3 + 3x 2 + 2 x = x( x − ( −1))( x − ( −2)) = x(x + 1)(x + 2) ;
x 2 − x − 6 = (x + 2)(x − 3) .


                                                    14

Страницы