Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
∞=
++
=
++⋅
=
−
+
++⋅
=
→→→
x
aax
x
)aax(x
aa
x
)aax(x
0x0x0x
2
2
2
2
2
limlimlim
{после сокращения дроби на x мы избавились от неопределенности и при-
шли к ситуации
∞=
0
c
}.
Примеры для самостоятельного решения.
1.
x
7
x
x
2
xx5x
23
32
x
+−
−+
∞→
lim
2.
1
x
3
x
xx
24
3
x
+
−
+
∞→
lim
3.
2
x
7
x
x31
2
2
x
−
+
−
∞→
lim
4.
1
x
x
2xx
x
−
−
−+
→
2
2
1
2
lim
5.
2
x
3
x
8x
x
−
−
−
→
3
3
2
lim
6.
6x
22x
x
−
−−
→6
lim
7.
x43
1x6
x
+−
−−
→5
lim
8.
1
x
x
x
x
+
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
4
3
2
lim
0
9.
2
lim
x
1x2
x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
10.
1x2
x
2
x
x
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞→
lim
Ответы:
1. –1/2. 2. 0. 3. –3. 4. 1. 5. 4/3. 6. 1/4. 7. 3. 8. 2/3. 9. 0. 10. 0.
2.6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов
В данном разделе при вычислении пределов мы будем использовать
два замечательных предела:
0
sin
lim 1
α
α
α
→
=
; (2.5)
e)(1
1
=+
→
α
α
α
0
lim (2.6)
{аргумент
α
в формулах (2.5–2.6) может быть как независимой перемен-
ной, которую вы произвольным образом устремляете к 0, так и на месте
α
может быть любая БМ функция}.
Во всех примерах этого раздела, способ вычисления пределов один – пре-
образуя исходное выражение, выделить в нем левую часть формул (2.5) или
(2.6) и затем вместо нее подставить 1 в случае (2.5) или
e в случае (2.6). 
        x ⋅ ( x2 + a + a )                 x ⋅ ( x2 + a + a )
                                                      x2 + a + a
  = lim                 = lim                  = lim             =∞
    x →0   x2 + a − a     x →0       x2          x →0     x
{после сокращения дроби на x мы избавились от неопределенности и при-
                c
шли к ситуации = ∞ }.
                0

  Примеры для самостоятельного решения.

             x+ 5 x 2 − x 3                                              x3 + x
  1. lim                                                2. lim
      x→∞   2 x3 − x2 + 7 x                                 x→∞    x4 − 3 x2 + 1
             1 − 3 x2                                              x2 + x − 2
  3. lim                                                4. lim
      x→∞   x 2 + 7 x− 2                                    x →1 2 x 2− x −1
               x3 − 8                                               x− 2 − 2
  5. lim                                                6. lim
      x→2   x3 − 3 x− 2                                     x →6     x− 6
                                                                             x 4 +1
            6 − x −1                                            ⎛2+ x⎞
  7. lim                                                8. lim ⎜        ⎟
     x →5 3 − 4 + x                                        x → 0⎝ 3 − x ⎠
                        x2                                                   x
          ⎛ x ⎞                                                  ⎛ 1 ⎞ 2 x +1
  9. lim ⎜          ⎟                                   10. lim ⎜ 2 ⎟
     x → ∞⎝ 2 x + 1 ⎠                                       x → ∞⎝ x ⎠


  Ответы: 1. –1/2. 2. 0. 3. –3. 4. 1. 5. 4/3. 6. 1/4. 7. 3. 8. 2/3. 9. 0. 10. 0.


2.6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов

   В данном разделе при вычислении пределов мы будем использовать
два замечательных предела:
                         sin α
                     lim       = 1;                        (2.5)
                              α →0   α
                                            1
                              lim (1 + α   )α   =e                                    (2.6)
                              α →0
{аргумент α в формулах (2.5–2.6) может быть как независимой перемен-
ной, которую вы произвольным образом устремляете к 0, так и на месте
α может быть любая БМ функция}.

   Во всех примерах этого раздела, способ вычисления пределов один – пре-
образуя исходное выражение, выделить в нем левую часть формул (2.5) или
(2.6) и затем вместо нее подставить 1 в случае (2.5) или e в случае (2.6).

                                                16

Страницы