Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
=
2
2
x
0
2
2
2
2
00 0
sin
sin
22 2 2
2
2sin
sin
21
lim 2lim 2lim lim
42
xx x
xx
xx
x
x
xx
→
→→ →
⎡
⎤
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎢⎥
=
===
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣
⎦
.
{Мы специально поставили квадратные скобки, чтобы подчеркнуть заме-
ну местами операций предельного перехода и возведения в квадрат (
2
t
–
функция непрерывная). Более наглядно это видно, если записать операцию
возведения в квадрат так, как это делается в алгоритмическом языке Пас-
каль –
[]
))x(f(SQR))x(f(SQR)x(f
axaxax →→→
== limlimlim
2
}.
17.
()
e11
1
x
x
1
x
=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→∞→
α
α
α
0
limlim
{чтобы привести заданное выражение к виду (2.6), мы сделали замену
x
1
=
α
, при этом
0
∞→
→
x
α
. И здесь на месте x может стоять любая ББ функ-
ция. На первый взгляд может показаться, что, подставив в (2.6) 0=
α
или
∞=
x
в левую часть примера 17, мы должны получить 1, так как 1 в любой
степени равна 1. Этот первый взгляд ошибочен, так как при каждом 0
≠
α
,
пусть и очень малом, основание степени
1
≠
. Следовательно, и результат
возведения в степень
α
/
1 (все возрастающую с уменьшением
α
) также
будет отличен от 1. При уменьшении
α
значение степенно-показательной
функции
α
/1
)(1 + будет все более приближаться к числу e\=\2,73… Если
первый замечательный предел раскрывает «неопределенность вида
0
0
», то
второй замечательный предел раскрывает «неопределенность вида
∞
1 »}.
18.
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∞→
x
x
x
1
1lim
{приведение к виду примера 17 начнем с водворения знака «+» в скобке}
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−
∞→
x
x
x)(
1
1lim
{чтобы окончательно придти к форме примера 17,
нужно, чтобы в показателе стоял (
–x). Для этого умножим показатель на
(
–1), не забыв разделить его на ту же (–1). В нашем случае можно вместо
деления сделать умножение на (
–1). Результат будет тот же – мы не изме-
ним значения показателя. Получим}
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−
∞→
−
∞→∞→
−−−⋅−
−−−
1
x
1
xx
)x()x(1)()x(
x)(
1
x)(
1
x)(
1
111 limlimlim
e
1
e
1
==
−
. 
                                                    ⎡ ⎛ sin x ⎞ 2 ⎤     ⎡         x ⎥⎤
                                                                                       2

              2sin 2 x          ⎛ sin x ⎞ 2                             ⎢     sin
      = lim           2 = 2lim⎜⎜      2 ⎟⎟ = 2lim ⎢⎢ ⎜⎜     2 ⎟⎟ ⎥⎥ = 2 ⎢ lim     2⎥ = 1 .
         x →0    x2         x→0 ⎜   x    ⎟     x →0 ⎢ ⎜   x    ⎟ ⎥ 4 ⎢ x2 →0 x ⎥⎥
                                                                        ⎢
                                                                                         2
                                ⎝        ⎠          ⎢
                                                    ⎣⎝         ⎠ ⎥⎦
                                                                        ⎣⎢      2 ⎥⎦
{Мы специально поставили квадратные скобки, чтобы подчеркнуть заме-
ну местами операций предельного перехода и возведения в квадрат ( t 2 –
функция непрерывная). Более наглядно это видно, если записать операцию
возведения в квадрат так, как это делается в алгоритмическом языке Пас-
каль – lim [ f ( x )]2 = lim SQR( f ( x )) = SQR( lim f ( x )) }.
        x→a                    x→a                                 x→a
                   x
         ⎛   1⎞
17. lim ⎜ 1 + ⎟ = lim (1 + α )α = e
                              1

    x → ∞⎝   x⎠   α →0
{чтобы привести заданное выражение к виду (2.6), мы сделали замену
     1
α = , при этом α → 0 . И здесь на месте x может стоять любая ББ функ-
     x             x →∞
ция. На первый взгляд может показаться, что, подставив в (2.6) α = 0 или
x = ∞ в левую часть примера 17, мы должны получить 1, так как 1 в любой
степени равна 1. Этот первый взгляд ошибочен, так как при каждом α ≠ 0 ,
пусть и очень малом, основание степени ≠ 1 . Следовательно, и результат
возведения в степень 1 / α (все возрастающую с уменьшением α ) также
будет отличен от 1. При уменьшении α значение степенно-показательной
функции (1 + α )1 / α будет все более приближаться к числу e\=\2,73                                             Если
                                                                0
первый замечательный предел раскрывает «неопределенность вида     », то
                                                                0
второй замечательный предел раскрывает «неопределенность вида 1∞ »}.
                   x
        ⎡   1⎤
18. lim ⎢1 − ⎥ =
    x →∞⎣   x⎦
{приведение к виду примера 17 начнем с водворения знака «+» в скобке}
                       x
       ⎛      1 ⎞
= lim ⎜ 1 +        ⎟ = {чтобы окончательно придти к форме примера 17,
  x → ∞⎝    ( − x) ⎠
нужно, чтобы в показателе стоял (–x). Для этого умножим показатель на
(–1), не забыв разделить его на ту же (–1). В нашем случае можно вместо
деления сделать умножение на (–1). Результат будет тот же – мы не изме-
ним значения показателя. Получим}
                           ( − x )⋅( −1)                         ( −x ) ⎤    −1                          ( −x ) ⎤    −1
         ⎛      1 ⎞                                ⎡⎛     1 ⎞                       ⎡       ⎛     1 ⎞
  = lim ⎜ 1 +        ⎟                     = lim ⎢⎜ 1 +        ⎟        ⎥         = ⎢ lim ⎜ 1 +        ⎟        ⎥         =
    x → ∞⎝    ( − x) ⎠                       x → ∞ ⎢⎝   ( − x) ⎠        ⎥⎦          ⎢⎣ x → ∞⎝   ( − x) ⎠        ⎥⎦
                                                   ⎣
          1
  = e −1 = .
          e
                                                          18

Страницы