Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
14.
0
sin5
lim
x
x
x
→
=
{до первого замечательного предела нам не хватает множителя 5 в знаме-
нателе. Умножим знаменатель на 5, не забыв умножить на 5 и всю дробь.
Получим} =
0
sin5
lim 5
5
x
x
x
→
⎡⎤
⎢⎥
⋅=
⎢⎥
⋅
⎢⎥
⎣⎦
{вынесем константу 5 за символ предела,
учитывая, что 05 →
x
когда 0→
x
, получим}
50
sin(5 )
5lim 5
(5 )
x
x
x
→
=
=
{фактиче-
ски мы сделали замену переменной в операции предельного перехода
x
y 5=
*)
и заданный пример привели к нужному нам виду
00
sin5 sin
lim 5lim
xy
x
y
x
y
→→
= }.
15.
00
sin sin 1
lim lim
sin 1 sin
xx
ax ax
bx bx
→→
⎡⎤
⎢
⎥
=⋅=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
{при конструировании первого замечательного предела явно напрашива-
ется операция замены единиц соответствующими аргументами синусов.
Умножим знаменатель первой дроби на
ax, а числитель второй дроби на
bx, не забыв при этом умножить все выражение на
bx
ax
. Получим}=
000
sin ax sin
lim lim lim
sin bx sin
xxx
ax bx a ax bx a
ax bx b ax bx b
→→→
⎢⎥
=⋅⋅= ⋅=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
{При вычислении второго предела мы учли, что если
b)x(f
ax
=
→
lim , то
b
1
f(x)
1
ax
=
→
lim
}.
16.
2
0
1cos
lim
x
x
x
→
−
=
{наличие в нашей функции
x
cos подсказывает нам, что цель наших пре-
образований – первый замечательный предел, но для этого числитель нуж-
но выразить через
s
in . Эту возможность нам предоставит формула из три-
гонометрии:
2
1cos
sin
22
x
x−
= (см. приложение 1). Используя ее, получаем} =
*)
Замена переменной при вычислении пределов основывается на следующей теореме. Пусть
существуют конечные или бесконечные пределы
b)x(f
ax
=
→
lim
и
)y(F
by→
lim
. Пусть в некоторой
проколотой (
)a
x
≠
окрестности т. а f(x)
b
≠
.Тогда при
a
x
→
существует предел сложной
функции F(f(x)) и
)y(F))x(f(F
byax →→
= limlim
. 
           sin5x
14. lim            =
      x →0    x
{до первого замечательного предела нам не хватает множителя 5 в знаме-
нателе. Умножим знаменатель на 5, не забыв умножить на 5 и всю дробь.
                          ⎡ sin5 x        ⎤
Получим} = lim⎢           ⎢         ⋅ 5⎥⎥ = {вынесем константу 5 за символ предела,
                     x →0 ⎢ 5 ⋅ x         ⎥⎦
                          ⎣
                                                                           sin(5 x )
учитывая, что 5 x → 0 когда x → 0 , получим} = 5 lim                                 = 5 {фактиче-
                                                                     5 x→0 (5 x )

ски мы сделали замену переменной в операции предельного перехода
 y = 5 x *) и заданный пример привели к нужному нам виду
      sin5 x             siny
lim            = 5lim          }.
 x →0    x         y →0     y
           sin ax            ⎡ sin ax           1 ⎤⎥
15. lim             = lim ⎢⎢            ⋅            ⎥ =
      x →0 sin bx       x →0 ⎢    1          sin  bx ⎥⎦
                             ⎣
{при конструировании первого замечательного предела явно напрашива-
ется операция замены единиц соответствующими аргументами синусов.
Умножим знаменатель первой дроби на ax, а числитель второй дроби на
                                                                        ax
bx, не забыв при этом умножить все выражение на                            . Получим}=
                                                                        bx
                 ⎡ sin ax        bx         ax ⎤⎥ a      sin ax            bx      a
         = lim ⎢⎢            ⋅        ⋅         ⎥ = lim         ⋅ lim           = .
            x →0 ⎢             sin bx bx ⎥⎦ b x→0 ax
                 ⎣ ax                                              x→0 sin bx      b
{При вычислении второго предела мы учли, что если lim f ( x ) = b , то
                                                                            x→a
        1     1
 lim        = }.
x → a f(x) b
          1 − cos x
16. lim             =
     x →0     x2
{наличие в нашей функции cos x подсказывает нам, что цель наших пре-
образований – первый замечательный предел, но для этого числитель нуж-
но выразить через sin . Эту возможность нам предоставит формула из три-
                      x 1 − cos x
гонометрии: sin 2 =               (см. приложение 1). Используя ее, получаем} =
                     2      2


*)
  Замена переменной при вычислении пределов основывается на следующей теореме. Пусть
существуют конечные или бесконечные пределы lim f ( x ) = b и lim F ( y ) . Пусть в некоторой
                                                    x→a           y→b
проколотой ( x ≠ a ) окрестности т. а f(x) ≠ b .Тогда при x → a существует предел сложной
функции F(f(x)) и lim F ( f ( x )) = lim F ( y ) .
                   x→a             y →b

                                               17

Страницы