Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 19 стр.

                 x
          ⎡ x ⎤
19. lim ⎢          = {конструкцию, похожую на второй замечательный пре-
    x → ∞ ⎣1 + x ⎥
                 ⎦
дел мы можем получить, «перевернув» дробь и разделив ее почленно на x.
Представление дроби через обратную («переворот») можно записать, на-
                            −1
           a ⎛b⎞
пример, так = ⎜ ⎟ . Проделаем эту операцию с нашей дробью, полу-
           b ⎝a⎠
                       −x                  −x                        −1
            ⎛1 + x ⎞               ⎛1 ⎞                 ⎡⎛ 1 ⎞ x ⎤                1
чим} = lim ⎜       ⎟        = lim ⎜ + 1⎟        = lim ⎢⎜ + 1⎟ ⎥           = e −1 = .
       x → ∞⎝ x ⎠             x → ∞⎝ x ⎠          x → ∞ ⎢⎝ x ⎠ ⎥⎦                 e
                                                        ⎣
          ln( 1 + x )        ⎡1            ⎤
20. lim               = lim ⎢ ⋅ ln( 1 + x )⎥ = {по свойству логарифмов показатель
     x →0      x        x →0⎣ x            ⎦
степени можно как выносить за символ ln, так и вносить его под ln. Внесем
                                     [
                                    x →0
                                                       ]
множитель 1/x под ln} = lim ln( 1 + x )1 / x = ln ⎡ lim ( 1 + x )1 / x ⎤ = ln e = 1 .
                                                        ⎢⎣ x → 0       ⎥⎦
Таким образом, получили следствие из второго замечательного предела
                    ln( 1 + x )
               lim              = 1.                                               (2.7)
               x →0      x
          ex −1
21. lim           = {вид нашей функции мало напоминает конструкцию замеча-
     x →0   x
тельных пределов. Однако если вы посмотрите на результат предыдущего
примера и вспомните, что exp и ln взаимно обратные функции, то заменой
 y = e x − 1 мы получим конструкцию примера 20. Чтобы выразить x через y,
прологарифмируем обе части равенства e x = 1 + y . Получим ln e x = ln(1 + y ) .
Так как последовательное действие lnexp(x) = x, то x = ln(1 + y ) . При x → 0
новая переменная y → 0
                                                                           −1
                                           y            ⎡ ln( 1 + y ) ⎤
          x       0
( lim ( e − 1) = e − 1 = 0 )} = lim               = lim ⎢             ⎥ = 1−1 = 1 .
  x →0                          y → 0 ln( 1 + y )   y →0⎣      y      ⎦
Таким образом
                     ex −1
                lim        = 1.                                                     (2.8)
                x →0   x
     Формулы (2.7) и (2.8), полученные в примерах 16, 20 и 21 часто будут
использоваться в дальнейшем.
22. lim x cos x = lim(cos x ) 1/ x =
    x→0               x→0
{когда мы записываем корень как степень с дробным показателем, то бо-
лее явно видно, что нужно вычислять предел степенно-показательной
функции с неопределенностью вида 1∞ . Такой же вид неопределенности
имеет второй замечательный предел. Поэтому будем преобразовывать на-
                                 19