Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
24.
=+−−++
+∞→
)xxxx(
x
22
11lim
{найдем предел каждого из корней отдельно
∞=⋅=++=++ ++
+∞+∞+∞ →→→
)(x)xx(xx
x
x
xxx
1
11
2
222
lim1lim1lim ;
∞=⋅=+−=+− +−
+∞+∞+∞ →→→
)(x)xx(xx
x
x
xxx
1
11
2
222
lim1lim1lim .
При вычислении этих пределов символ lim мы внесли под символ корня, так
как функция y=
t
непрерывна (см. (1.3)). Затем вынесли главный «носитель
∞
» –
2
x
за скобки, чтобы выделить ББ функцию и ограниченную для доста-
точно больших
x функцию, предел которой в нашем случае равен 1. После
этого, воспользовавшись «арифметикой
∞
», получили результат.
Данная ситуация, когда вычитаются две ББ функции называется «неоп-
ределенностью вида
∞−∞ ». Для раскрытия этой неопределенности изба-
вимся от корней, умножив и разделив наше выражение на сопряженное.
Получим}
=
+−+++
+−+++⋅+−−++
=
+∞→
22
2222
11
1111
lim
xxxx
)xxxx()xxxx(
x
=
+−+++
=
+−+++
+−−++
=
+∞+∞ →→
2222
22
11
2
lim
11
11
lim
xxxx
x
xxxx
)xx()xx(
xx
{от неопределенности вида
∞
−
∞ мы пришли к неопределенности
∞
∞
. Вы-
несем в знаменателе общий множитель x, сократим дробь на этот множи-
тель и тем самым раскроем неопределенность}
1
2
lim
2
lim
1
11
1
11
1
11
1
11
22
22
==
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+−+++
+−+++
+∞+∞ →→
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
{напомним, что
xx =
2
при 0>
x
xx
=
}.
Примеры для самостоятельного решения.
1.
1
sin 7 π
lim
sin 2 π
x
x
x
→
2.
lim sin
x
x
x
→∞
3.
0
2
1/ x
lim(cos )
x
x
→
−
4.
/2
tg
lim (1 ctg )
x
x
x
π
→
+
5.
0
2
4
1/sin
lim(1 3 )
x
x
x
→
+
6.
)1x1x(
x
+−−
∞→
22
lim
Ответы:
1. –7/2. 2.
π
. 3. e . 4. e. 5. e
3
. 6. 0. 
24. lim ( 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 ) =
    x → +∞
{найдем предел каждого из корней отдельно
 lim     1 + x + x2 =          lim ( 1 + x + x 2 ) =      lim x 2 ⋅ ( 12 + 1x + 1 ) = ∞ ;
x → +∞                        x → +∞                    x → +∞        x
 lim     1 − x + x2 =                      lim x 2 ⋅ ( 12 − 1x + 1 ) = ∞ .
                               lim ( 1 − x + x 2 ) =
x → +∞                x → +∞             x → +∞        x
При вычислении этих пределов символ lim мы внесли под символ корня, так
как функция y= t непрерывна (см. (1.3)). Затем вынесли главный «носитель
∞ » – x 2 за скобки, чтобы выделить ББ функцию и ограниченную для доста-
точно больших x функцию, предел которой в нашем случае равен 1. После
этого, воспользовавшись «арифметикой ∞ », получили результат.
   Данная ситуация, когда вычитаются две ББ функции называется «неоп-
ределенностью вида ∞ − ∞ ». Для раскрытия этой неопределенности изба-
вимся от корней, умножив и разделив наше выражение на сопряженное.
Получим}
           ( 1 + x + x2 − 1 − x + x2 ) ⋅ ( 1 + x + x2 + 1 − x + x2 )
= lim                                                                                =
  x → +∞                 1+ x + x + 1− x + x2                2

       (1 + x + x ) − (1 − x + x 2 )
                      2
                                                        2x
= lim                                = lim                             =
 x → +∞ 1 + x + x 2 + 1 − x + x 2     x → +∞ 1 + x + x 2 + 1 − x + x 2

                                                                 ∞
{от неопределенности вида ∞ − ∞ мы пришли к неопределенности         . Вы-
                                                                 ∞
несем в знаменателе общий множитель x, сократим дробь на этот множи-
тель и тем самым раскроем неопределенность}
                       2x                                2
= lim                                  = lim                          =1
  x → +∞ ⎛  1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 ⎞ ⋅ x x → +∞ 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1
         ⎜ 2 x                    ⎟            x2 x        x2 x
         ⎝ x              x2 x    ⎠
{напомним, что            x 2 = x при x > 0 x = x }.

Примеры для самостоятельного решения.
              sin 7 π x
   1. lim
         x →1 sin 2 π x                                          2. lim x sin πx
                                                                     x →∞
                     −1/x 2
   3. lim(cos x )                                                4. lim (1 + ctg x ) tg x
         x →0                                                        x →π /2
                              2x
   5. lim(1 + 3 x 4 ) 1/sin                                      6. lim ( x 2 − 1 − x 2 + 1 )
         x →0                                                        x→∞


   Ответы: 1. –7/2. 2. π . 3.           e . 4. e. 5. e3. 6. 0.


                                                 21

Страницы