Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
шу функцию, чтобы выделить в ней
α
α
/
)(
1
1+ . В основании степени на-
шей функции нет 1, значит, добавим ее и вычтем. Получим}
0
1/
lim 1 (cos 1)
x
x
x
→
⎡⎤
=+ −=
⎢⎥
⎣⎦
{Итак, нужная конструкция основания
)
(
α
+
1 нами получена
01
0→
→−=
x
xcos
α
. Теперь, чтобы сконструировать нужный нам показа-
тель 1/
α
, необходимо показатель нашей функции умножить на
α
и разде-
лить на
α
. Проделав это, получим}
{}
0
cos 1
1/(cos 1)
lim 1 (cos 1)
x
x
x
x
x
→
−
−
⎡⎤
=+ − =
⎢⎥
⎣⎦
{}
0
0
cos 1
lim
1/(cos 1)
lim 1 (cos 1)
x
x
x
x
x
x
→
→
−
−
⎡⎤
=+ − =
⎢⎥
⎣⎦
{предел выражения в фигурных скобках, являющегося основанием для
преобразованной степенно-показательной функции, равен
e, поэтому}
(
)
1/2
2
00
cos 1 cos 1 1
exp lim exp 1 lim
xx
xx
e
x
e
x
−
→→
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢⎥
==−⋅==
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
{в результате проделанных преобразований мы от неопределенности вида
∞
1 пришли к неопределенности
0
0
. При вычислении предела показателя
мы использовали результат решения примера 16}.
Кроме неопределенности вида
∞
1, при вычислении пределов степенно–
показательных функций
)x(V
)x(Uy = возникают ситуации неопределенно-
сти вида
0
0 (
0limlim
=
=
→→
)x(V)x(U
axax
) и
0
(
0limlim
=
∞
=
→→
)x(V,)x(U
axax
).
Метод раскрытия этих неопределенностей основывается на использовании
основного логарифмического тождества, чтобы от степенно-показательной
функции перейти к показательной и далее вычислять предел от показателя
(см. раздел 2.3). Однако при вычислении этого предела мы столкнемся с
неопределенностью вида
∞⋅0, которая легко сводится к неопределенности
вида
0
0
или
∞
∞
. Эти неопределенности раскрываются методами, предло-
женными выше или другими более простыми методами, которые будут
рассмотрены в следующем выпуске методического пособия.}
23. =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=⋅==
+→+→+→+→
)xlnx(exp)xlnxexp()xexp(lnx
xxx
x
x
x
0000
limlimlimlim
1lim
0
0
1
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
→
eexp
x/
xln
x
. 
шу функцию, чтобы выделить в ней ( 1 + α )1 / α . В основании степени на-
шей функции нет 1, значит, добавим ее и вычтем. Получим}
                          1/ x
= lim⎡⎢ 1 + (cos x − 1)⎤⎥      =
   x→0 ⎣                ⎦
{Итак, нужная конструкция основания ( 1 + α ) нами получена
α = cos x − 1 → 0 . Теперь, чтобы сконструировать нужный нам показа-
                 x →0
тель 1/ α , необходимо показатель нашей функции умножить на α и разде-
лить на α . Проделав это, получим}
                                                cos x −1

      {
= lim ⎡⎢ 1 + (cos x − 1)⎤⎥
   x→0 ⎣                 ⎦
                             1/(cos x −1)
                                            }      x
                                                           =

                                                lim cos x −1
= lim {⎡⎢ 1 + (cos                          }    x
                   x − 1)⎤⎥ 1/(cos x −1)
                                          x →0
                                                       =
  x→0   ⎣                 ⎦
{предел выражения в фигурных скобках, являющегося основанием для
преобразованной степенно-показательной функции, равен e, поэтому}
                                  ⎡                       ⎤
       ⎡     cos  x − 1 ⎤         ⎢            cos  x − 1 ⎥
= exp⎢⎢ lim             ⎥ = exp⎢ −1⋅ lim                 ⎥ = e −1/2 = 1
                       ⎥         ⎢                       ⎥
      ⎢⎣ x→0           ⎥⎦        ⎢
                                                      ( )⎥
                                                      2
                 x                       x→0
                                                   x                   e
                                 ⎢⎣                      ⎥⎦
{в результате проделанных преобразований мы от неопределенности вида
                                                0
1∞ пришли к неопределенности                      . При вычислении предела показателя
                                                0
мы использовали результат решения примера 16}.
  Кроме неопределенности вида 1∞ , при вычислении пределов степенно–
показательных функций y = U ( x )V ( x ) возникают ситуации неопределенно-
сти вида 0 0 ( lim U ( x ) = lim V ( x ) = 0 ) и ∞0 ( lim U ( x ) = ∞ , lim V ( x ) = 0 ).
                 x→a           x→a                             x→a       x→a
Метод раскрытия этих неопределенностей основывается на использовании
основного логарифмического тождества, чтобы от степенно-показательной
функции перейти к показательной и далее вычислять предел от показателя
(см. раздел 2.3). Однако при вычислении этого предела мы столкнемся с
неопределенностью вида 0 ⋅ ∞ , которая легко сводится к неопределенности
      0       ∞
вида     или    . Эти неопределенности раскрываются методами, предло-
      0       ∞
женными выше или другими более простыми методами, которые будут
рассмотрены в следующем выпуске методического пособия.}

23. lim x x = lim exp(ln x x ) = lim exp( x ⋅ ln x ) = exp ⎡ lim ( x ⋅ ln x )⎤ =
    x → +0          x → +0      x → +0                     ⎢⎣ x → +0         ⎥⎦
= exp ⎡ lim ln x ⎤ = e 0 = 1 .
      ⎢⎣ x → 0 1 / x ⎥⎦

                                                   20

Страницы