Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Итак, каким бы способом мы ни выделяли общий множитель
(x + 2), полу-
чаем} =
5
2
32)(
1)2)2)(((
3x
1)x(x
x
=
−−
+
−
−
=
−
+
−→ 2
lim
.
11.
=
+
+
++
∞→
2
n
n
n)...32(1
lim
{пределы последовательностей вычисляются по тем же правилам, что и
пределы функций, так как их можно рассматривать как частный случай
функции, заданной на множестве натуральных чисел, то есть с аргументом
n∈N.
Подстановка «в лоб»
∞ на место n и использование «арифметики
∞
»
ничего не дает, прежде всего, потому, что в числителе стоит сумма, в
которой количество членов растет с ростом
n. Значит первая наша зада-
ча – выразить сумму
n членов через функцию от n. Здесь она решается
просто: сумма
n членов арифметической прогрессии
2
1)n(n
n...321
+
=++++
, следовательно} = =
+
∞→
2
n
n2
1)n(n
lim {здесь неопре-
деленность
∞
∞
, как и в примере 9. Чтобы ее раскрыть нам необходимо
источник этой неопределенности вынести множителем в числителе и
знаменателе и сократить ДО выполнения операции предельного перехо-
да}
2
1
2
1
n2
)(1n
n2
)n(n
n
1
n
1
n
n
n
2
2
n
2
n
=
+
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→
limlimlim
.
12.
0x
x
xx
x
x
/
0x
/
//
0x0x
==
⋅
=
+→+→+→
23
21
23212
limlimlim
.
13. =
−+
→
aax
x
0x
2
lim
{подстановка x\=\0 показывает на неопределенность вида
0
0
. Однако рас-
крытие этой неопределенности затруднено наличием корней в знаменате-
ле, от которых желательно избавиться. Способ стандартный: нужно умно-
жить и знаменатель, и числитель на «сопряженное» знаменателю выраже-
ние, в котором эти же корни соединены знаком «+». Проделаем эту опера-
цию} =
=
−+
++⋅
=
++⋅−+
++⋅
=
→→
222
2
22
2
limlim
)a()ax(
)aax(x
)aax()aax(
)aax(x
0x0x
Итак, каким бы способом мы ни выделяли общий множитель (x + 2), полу-
                 x(x + 1) ( −2)(( −2) + 1) 2
чаем} = lim                =                    = .
          x → −2 x − 3           ( −2) − 3       5
         (1 + 2 + 3 + ... + n)
11. lim                          =
    n→∞             n2
{пределы последовательностей вычисляются по тем же правилам, что и
пределы функций, так как их можно рассматривать как частный случай
функции, заданной на множестве натуральных чисел, то есть с аргументом
n∈ N.
   Подстановка «в лоб» ∞ на место n и использование «арифметики ∞ »
ничего не дает, прежде всего, потому, что в числителе стоит сумма, в
которой количество членов растет с ростом n. Значит первая наша зада-
ча – выразить сумму n членов через функцию от n. Здесь она решается
просто:         сумма        n         членов       арифметической         прогрессии
                       n(n + 1)                              n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =           , следовательно} = lim                = {здесь неопре-
                          2                              n→∞ 2 n2
                ∞
деленность         , как и в примере 9. Чтобы ее раскрыть нам необходимо
                ∞
источник этой неопределенности вынести множителем в числителе и
знаменателе и сократить ДО выполнения операции предельного перехо-
             n(n + n )          n 2 (1 + 1 )       1 + n1 1
да} = lim            n  = lim            n   = lim        = .
       n→∞      2 n2      n→∞       2 n2       n→∞ 2       2

             x2        x1 / 2 ⋅ x 3 / 2
12. lim         = lim         1 / 2
                                        = lim x 3 / 2 = 0 .
    x → +0    x x → +0      x            x → +0

                      x
13. lim                         =
    x →0      2
             x +a− a
                                                       0
{подстановка x\=\0 показывает на неопределенность вида   . Однако рас-
                                                       0
крытие этой неопределенности затруднено наличием корней в знаменате-
ле, от которых желательно избавиться. Способ стандартный: нужно умно-
жить и знаменатель, и числитель на «сопряженное» знаменателю выраже-
ние, в котором эти же корни соединены знаком «+». Проделаем эту опера-
цию} =
                          x ⋅ ( x2 + a + a )                   x ⋅ ( x2 + a + a )
  = lim                                             = lim                            =
    x →0 (        2                    2              x →0 (     2      2        2
              x + a − a )⋅( x + a + a )                         x + a ) −( a )



                                               15

Страницы