Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
7.
)
x
(
x
2
5
3
lim
2
+
−
∞→
=
2lim
5
3
lim
2
∞→∞→
+
−
xx
x
=
2
.
{Второй предел равен 2, как предел константы. Первый предел в символь-
ной записи выглядит как
0+=
∞+
c
. Предел числителя равен 3, предел зна-
менателя
+∞=−
∞→
)x(
x
5lim
2
, так как
+∞=
∞→
2
lim x
x
(см. график
2
xy = и табл.
БМ и ББ функций), а по «арифметике
∞
» (2.4) имеем +∞=−+
+
∞
)
(
)
(
5)}.
2.5. Раскрытие неопределенностей вида
0
0
,
∞
∞
8.
2
23
0
2
3
lim
x
xx
x
+
→
=
{значения и числителя и знаменателя при x = 0 равны 0. Ситуация, которая
в теории пределов называется «неопределенность вида
0
0
», не подходит ни
под одну из разобранных ранее. Но при x 0
≠
, разделив числитель и знаме-
натель на
2
x
, получим}
=
2
3
2
3
2
lim
0
=+
→
)
x
(
x
.
Естественен вопрос: почему мы исключили т. x = 0 при преобразованиях
дроби? Ведь именно к этой точке стремится аргумент x, и делить на
x0
=
2
нельзя.
Ответ. Сокращение дроби на x
2
мы сделали ДО выполнения операции
предельного перехода, исключив из рассмотрения предельную точку x\=\0
в точном соответствии с определением предела функции (
b lim =
→
f(x)
ax
⇔
)
,b
(
ε
U∀
∃ (a,
δ
): ∀x
U
∈ (a,
δ
), ( x
≠
a ): f(x)
∈
U(b,
ε
)).
Замечание. Процедура вычисления предела функции и вычисления значе-
ния функции в предельной точке совпадают лишь для непрерывных в этой
точке функций (соответственно равны предел и значение функции в пре-
дельной точке). В нашем примере функция
2
23
2
3
x
xx
y
+
=
определена в лю-
бой окрестности точки x = 0 за исключением самой этой точки. В т. x = 0
функция не определена (не задана), не существует значения функции в
этой точке. А предел функции существует и равен 1,5. 
             3                    3
7. lim (            + 2 ) = lim      + lim 2 = 2 .
  x→∞  x2 − 5           x →∞ x 2 − 5   x →∞
{Второй предел равен 2, как предел константы. Первый предел в символь-
                               c
ной записи выглядит как            = +0 . Предел числителя равен 3, предел зна-
                             +∞
менателя lim ( x 2 − 5 ) = +∞ , так как lim x 2 = +∞ (см. график y = x 2 и табл.
             x →∞                         x →∞
БМ и ББ функций), а по «арифметике ∞ » (2.4) имеем ( +∞ ) + ( −5 ) = +∞ )}.

                                                 0 ∞
2.5. Раскрытие неопределенностей вида             ,
                                                 0 ∞

         x 3 + 3x 2
8. lim            =
  x→0      2x2
{значения и числителя и знаменателя при x = 0 равны 0. Ситуация, которая
                                                       0
в теории пределов называется «неопределенность вида », не подходит ни
                                                       0
под одну из разобранных ранее. Но при x ≠ 0 , разделив числитель и знаме-
натель на x 2 , получим}
           x 3      3
 = lim ( + ) = .
      x →0 2    2   2
Естественен вопрос: почему мы исключили т. x = 0 при преобразованиях
дроби? Ведь именно к этой точке стремится аргумент x, и делить на
x 2 = 0 нельзя.
 Ответ. Сокращение дроби на x 2 мы сделали ДО выполнения операции
предельного перехода, исключив из рассмотрения предельную точку x\=\0
в точном соответствии с определением предела функции ( lim f(x) = b ⇔
                                                                     x→a
∀U( b ,ε ) ∃U (a, δ ): ∀ x∈U (a, δ ), ( x ≠ a ): f(x) ∈ U(b, ε )).

Замечание. Процедура вычисления предела функции и вычисления значе-
ния функции в предельной точке совпадают лишь для непрерывных в этой
точке функций (соответственно равны предел и значение функции в пре-
                                              x 3 + 3x 2
дельной точке). В нашем примере функция y =              определена в лю-
                                                 2x2
бой окрестности точки x = 0 за исключением самой этой точки. В т. x = 0
функция не определена (не задана), не существует значения функции в
этой точке. А предел функции существует и равен 1,5.



                                          12

Страницы