Вычисление пределов функций. Давыдкин В.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
b)
0)(c,
0
>−∞=
−
c
{означает
ax→
lim
−∞=
)x(
c
α
, где 0lim −=
→
)x(
ax
α
, т. е.
)
x
(
α
стремится к 0, оставаясь отрицательной, например,
0lim
2
0
−=−
→
)x(
x
};
c)
∞=
0
c
{означает
ax→
lim
)x(
c
α
=
∞
, где
0lim
=
→
)x(
ax
α
, т. е.
)
x
(
α
стремится
к 0, принимая и положительные, и отрицательные значения, например,
0lim
0
=
→
x
x
,
0lim
0
=
→
xsin
x
};
0+=
∞+
c
{означает
ax→
lim
0+=
)x(f
c
, где
+
∞
=
→
)x(f
ax
lim , т. е.
)
x
(
f
неог-
раниченно возрастает при x
→a, например,
+∞=
+∞→
2
lim x
x
}
d)
0−=
∞−
c
{означает
ax→
lim
0−=
)x(f
c
, где
−
∞
=
→
)x(f
ax
lim , т. е.
)
x
(
f
не-
ограниченно убывает при x
→a, например, −∞=
−∞→
3
lim x
x
}
e)
0=
∞
c
{означает
ax→
lim
0=
)x(f
c
, где
∞
=
→
)x(f
ax
lim
,
т. е. )x(f неогра-
ниченно возрастает при x →a
}.
Для ББ функций свойства «арифметики пределов» (2.1) не приме-
нимы.
Однако, рассматривая ∞+ и –
∞
, как элементы, дополняющие множе-
ство действительных чисел
R, можно для них определить операции (в
дальнейшем будем их именовать «арифметикой
∞
»):
+∞=+∞++∞
)
(
)
(
,
∞
=
−∞+−∞
)
(
)
(
,
∞
=
∞
∞
)
)
(
(
,
∞=−∞−∞
)
)
(
(
,
−∞=−∞+∞
)
)
(
(
,
()
a ++∞=+∞, ( )a +−∞=−∞, ( )a
⋅
+∞ = + ∞ ,
∞
−
=
∞
−
⋅
)
(
a
)
a
(
0>
−∞=+∞⋅
)
(
a , +∞=
∞⋅
)
(
a
)
a
(
0
<
, (2.4)
где
a – любое конечное действительное число.
Следуя этому, если
∞
=
→
)x(f
ax
lim и
∞
=
→
)x(g
ax
lim , то
[]
+∞
=
+
→
)x(g)x(f
ax
lim .
Утверждать что-либо о существовании
[
]
)x(g)x(f
ax
−
→
lim нельзя (под-
робнее см. пример 24 и комментарии к нему).
6.
x
x
x
−
→
1
lim
1
       c                                 c
 b)      = −∞, (c > 0) {означает lim          = −∞ , где lim α ( x ) = −0 , т. е. α ( x )
      −0                         x→ a α ( x )            x→a

 стремится к 0, оставаясь отрицательной, например, lim( − x 2 ) = −0 };
                                                                   x→0
    c                           c
 c)   = ∞ {означает lim              = ∞ , где lim α ( x ) = 0 , т. е. α ( x ) стремится
    0                   x→ a α ( x )           x→a
 к 0, принимая и положительные, и отрицательные значения, например,
 lim x = 0 , lim sin x = 0 };
  x →0          x →0
   c                       c
     = +0 {означает lim          = +0 , где lim f ( x ) = +∞ , т. е. f ( x ) неог-
  +∞                x→ a f ( x )            x→a

 раниченно возрастает при x → a, например, lim x 2 = +∞ }
                                                        x → +∞
       c                       c
 d)      = −0 {означает lim          = −0 , где lim f ( x ) = −∞ , т. е. f ( x ) не-
      −∞                x→ a f ( x )            x→a

 ограниченно убывает при x → a, например,               lim x 3 = −∞ }
                                                        x → −∞
    c                      c
 e)   = 0 {означает lim          = 0 , где lim f ( x ) = ∞ , т. е. f ( x ) неогра-
    ∞               x→ a f ( x )           x→a
 ниченно возрастает при x → a}.
  Для ББ функций свойства «арифметики пределов» (2.1) не приме-
нимы.
   Однако, рассматривая + ∞ и – ∞ , как элементы, дополняющие множе-
ство действительных чисел R, можно для них определить операции (в
дальнейшем будем их именовать «арифметикой ∞ »):
( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞ , ( −∞ ) + ( −∞ ) = −∞ , ( +∞ )( +∞ ) = +∞ , ( −∞ )( −∞ ) = +∞ ,
( +∞ )( −∞ ) = −∞ ,
a + (+∞) = +∞ , a + (−∞) = −∞ , a ⋅ (+∞) = +∞ , a ⋅ ( −∞ ) = −∞ ( a > 0 )
a ⋅ ( +∞ ) = −∞ , a ⋅ ( −∞ ) = +∞ ( a < 0 ) ,                                     (2.4)
где a – любое конечное действительное число.
   Следуя этому, если lim f ( x ) = +∞ и lim g( x ) = +∞ , то
                                  x→a             x→a
lim [ f ( x ) + g ( x )] = +∞ .
x→a

   Утверждать что-либо о существовании                lim [ f ( x ) − g ( x )] нельзя (под-
                                                      x→a
робнее см. пример 24 и комментарии к нему).

          x
6. lim
   x →1 1 − x

                                            10

Страницы