ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
b)
0)(c,
0
>−∞=
−
c
{означает
ax→
lim
−∞=
)x(
c
α
, где 0lim −=
→
)x(
ax
α
, т. е.
)
x
(
α
стремится к 0, оставаясь отрицательной, например,
0lim
2
0
−=−
→
)x(
x
};
c)
∞=
0
c
{означает
ax→
lim
)x(
c
α
=
∞
, где
0lim
=
→
)x(
ax
α
, т. е.
)
x
(
α
стремится
к 0, принимая и положительные, и отрицательные значения, например,
0lim
0
=
→
x
x
,
0lim
0
=
→
xsin
x
};
0+=
∞+
c
{означает
ax→
lim
0+=
)x(f
c
, где
+
∞
=
→
)x(f
ax
lim , т. е.
)
x
(
f
неог-
раниченно возрастает при x
→a, например,
+∞=
+∞→
2
lim x
x
}
d)
0−=
∞−
c
{означает
ax→
lim
0−=
)x(f
c
, где
−
∞
=
→
)x(f
ax
lim , т. е.
)
x
(
f
не-
ограниченно убывает при x
→a, например, −∞=
−∞→
3
lim x
x
}
e)
0=
∞
c
{означает
ax→
lim
0=
)x(f
c
, где
∞
=
→
)x(f
ax
lim
,
т. е. )x(f неогра-
ниченно возрастает при x →a
}.
Для ББ функций свойства «арифметики пределов» (2.1) не приме-
нимы.
Однако, рассматривая ∞+ и –
∞
, как элементы, дополняющие множе-
ство действительных чисел
R, можно для них определить операции (в
дальнейшем будем их именовать «арифметикой
∞
»):
+∞=+∞++∞
)
(
)
(
,
−
∞
=
−∞+−∞
)
(
)
(
,
+
∞
=
+
∞
+
∞
)
)
(
(
,
+
∞=−∞−∞
)
)
(
(
,
−∞=−∞+∞
)
)
(
(
,
()
a ++∞=+∞, ( )a +−∞=−∞, ( )a
⋅
+∞ = + ∞ ,
∞
−
=
∞
−
⋅
)
(
a
)
a
(
0>
−∞=+∞⋅
)
(
a , +∞=
−
∞⋅
)
(
a
)
a
(
0
<
, (2.4)
где
a – любое конечное действительное число.
Следуя этому, если
+
∞
=
→
)x(f
ax
lim и
+
∞
=
→
)x(g
ax
lim , то
[]
+∞
=
+
→
)x(g)x(f
ax
lim .
Утверждать что-либо о существовании
[
]
)x(g)x(f
ax
−
→
lim нельзя (под-
робнее см. пример 24 и комментарии к нему).
6.
x
x
x
−
→
1
lim
1
c c b) = −∞, (c > 0) {означает lim = −∞ , где lim α ( x ) = −0 , т. е. α ( x ) −0 x→ a α ( x ) x→a стремится к 0, оставаясь отрицательной, например, lim( − x 2 ) = −0 }; x→0 c c c) = ∞ {означает lim = ∞ , где lim α ( x ) = 0 , т. е. α ( x ) стремится 0 x→ a α ( x ) x→a к 0, принимая и положительные, и отрицательные значения, например, lim x = 0 , lim sin x = 0 }; x →0 x →0 c c = +0 {означает lim = +0 , где lim f ( x ) = +∞ , т. е. f ( x ) неог- +∞ x→ a f ( x ) x→a раниченно возрастает при x → a, например, lim x 2 = +∞ } x → +∞ c c d) = −0 {означает lim = −0 , где lim f ( x ) = −∞ , т. е. f ( x ) не- −∞ x→ a f ( x ) x→a ограниченно убывает при x → a, например, lim x 3 = −∞ } x → −∞ c c e) = 0 {означает lim = 0 , где lim f ( x ) = ∞ , т. е. f ( x ) неогра- ∞ x→ a f ( x ) x→a ниченно возрастает при x → a}. Для ББ функций свойства «арифметики пределов» (2.1) не приме- нимы. Однако, рассматривая + ∞ и ∞ , как элементы, дополняющие множе- ство действительных чисел R, можно для них определить операции (в дальнейшем будем их именовать «арифметикой ∞ »): ( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞ , ( −∞ ) + ( −∞ ) = −∞ , ( +∞ )( +∞ ) = +∞ , ( −∞ )( −∞ ) = +∞ , ( +∞ )( −∞ ) = −∞ , a + (+∞) = +∞ , a + (−∞) = −∞ , a ⋅ (+∞) = +∞ , a ⋅ ( −∞ ) = −∞ ( a > 0 ) a ⋅ ( +∞ ) = −∞ , a ⋅ ( −∞ ) = +∞ ( a < 0 ) , (2.4) где a любое конечное действительное число. Следуя этому, если lim f ( x ) = +∞ и lim g( x ) = +∞ , то x→a x→a lim [ f ( x ) + g ( x )] = +∞ . x→a Утверждать что-либо о существовании lim [ f ( x ) − g ( x )] нельзя (под- x→a робнее см. пример 24 и комментарии к нему). x 6. lim x →1 1 − x 10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »