Моделирование систем. Давыдов Р.В - 10 стр.

      Полученная система линейных алгебраических уравнений содержит столько
уравнений, сколько в нее входит неизвестных параметров Б. В теории метода
систему (11) принято называть системой нормальных уравнений.
      Система нормальных уравнений может быть решена, например, по правилу
Крамера, согласно которому b1 = Δ1 / Δ , где Δ - определитель матрицы системы
нормальных уравнений:
                                           n               n                       n

                                      ∑x j =1
                                                2
                                                0j      ∑xj =1
                                                                          x
                                                                       0 j 1j      ∑x
                                                                                   j =1
                                                                                              0j
                                                                                                   x Pj
                                     n                             n                 n
                            Δ=      ∑ x0 j x1 j
                                    j =1
                                                            ∑x j =1
                                                                            2
                                                                            1j     ∑x
                                                                                   j =1
                                                                                              1j   x Pj ,
                                     n                     n                           n

                                    ∑ x0 j x Pj
                                    j =1
                                                        ∑xj =1
                                                                       1j   x Pj     ∑xj =1
                                                                                                   2
                                                                                                   Pj



      a Δ 1 получается из Δ путем замены 1-го столбца на столбец
                                                               n

                                                          ∑x
                                                           j =1
                                                                        0j   yj
                                                               n


                                                 Δ1 =
                                                          ∑x
                                                           j =1
                                                                       1j
                                                                             yj

                                                          ..............
                                                               n

                                                          ∑x
                                                           j =1
                                                                        Рj   yj

      Решение может быть сравнительно точно найдено, если матрица системы
нормальных уравнений не является плохо обусловленной, т.е. определитель Δ
существенно отличается от нуля. В противном случае, при вычислении b1 , Δ 1 будет
делиться на величину, близкую к нулю. В этом случае необходимо либо менять
структуру модели, либо менять выборку экспериментальных данных.
      Пример: Расчет коэффициентов методом наименьших квадратов.
      По опытным данным построить зависимость плотности жидкости от
температуры в виде параболы 2-й степени.
                        Т, К                         273               283         293                  303
                        ρ , кг/м3               . 875                  871         868                  867
      Для уменьшения расчетов удобно преобразовать переменные так, чтобы
они выражались малым числом цифр. Так вместо Т можно использовать величину
х = (Т - 288) / 5, а вместо ρ у = ρ - 870


                                                     10