Моделирование систем. Давыдов Р.В - 9 стр.

                                               ⎛ х01 , х11 ,..., х P1 ⎞
                                               ⎜                       ⎟
                                               ⎜ х02 , х12 ,..., х P 2 ⎟
                                             х=⎜                                                        (8)
                                                 ................... ⎟
                                               ⎜                       ⎟
                                               ⎜ х , х ,..., х ⎟
                                               ⎝ 0 n 1n            Pn ⎠


     Квадрат разности для 3-го опыта запишется так:
                                         ∧
                            ( y j − y j ) 2 = ( y j − b0 x0 j − b1 x1 j − ... − bP x Pj ) 2             (9)
     Подставляя зависимость (9) в выражение (6), получим:
                                  n
                      S (b) = ∑ [ y j − b0 x0 j − b1 x1 j − ... − bP x Pj ]2 → min                     (10)
                                  j =1


     Необходимым условием минимума функции S ( b ) является равенство нулю
ее частных производных по искомым параметрам (поскольку функция S ( b )
является квадратической, то эти условия выделяют единственную точку
минимума).
                                 ∂S       ∂S                            ∂S
                                     = 0,     = 0,                  ,       =0
                                 ∂b0      ∂b1                           ∂bP
     или
                     ⎧2 n ( y − b x − b x − ... − b x )(− х ) = 0
                     ⎪ ∑  j =1
                                 j      0 0j        1 1j             P Pj          0j

                     ⎪ n
                     ⎪⎪2∑ ( y j − b0 x0 j − b1 x1 j − ... − bP x Pj )(− х1 j ) = 0
                      ⎨ j =1
                      ⎪....................................................................
                      ⎪ n
                      ⎪2∑ ( y − b x − b x − ... − b x )(− х ) = 0
                      ⎪⎩ j =1 j         0 0j        1 1j             P Pj          Pj



     Запишем эту систему в виде, удобном для анализа,
                    ⎧b n x 2 + b n x x + ... + b n x x = n x y
                    ⎪ 0∑  j =1
                                0J      1∑ 0 j 1j
                                          j =1
                                                                   P ∑ 0 j Pj
                                                                      j =1
                                                                                      ∑ j =1
                                                                                              0j   j

                    ⎪ n                         n                     n                n
                    ⎪⎪b0 ∑ x0 j x1 j + b1 ∑ x12j + ... + bP ∑ x1 j x Pj = ∑ x1 j y j
                     ⎨ j =1                    j =1                  j =1             j =1             (11)
                     ⎪............................................................................
                     ⎪ n                         n                          n           n
                     ⎪b ∑ x x + b ∑ x x + ... + b ∑ x 2 = ∑ x y
                     ⎪⎩ 0 j =1 0 j Pj        1
                                               j =1
                                                    1 j Pj              P
                                                                           j =1
                                                                                Pj
                                                                                      j =1
                                                                                             Pj  j




                                                      9