Моделирование систем. Давыдов Р.В - 7 стр.

                                                                        ^               ^
нивающую невязку ε - степень отклонения у( х ) от y ( х , b ), ε = у ( х ) - y ( х , b ).
Эти отклонения указаны на рис.3 применительно к случаю, когда объект имеет
одну входную координату. В методе наименьших квадратов, используется
квадрат невязки:
                                                                   ∧
                                      F (ε) = ε 2 = [ y ( x ) − y ( x, b)]2
                           ^
      Вид зависимости y ( х , b ) задается. В общем виде зависимость можно
представить в виде:
                                  ∧
                                  y = f ( x1 , x2 ,..., xm , b0 , b1 ,..., b p ),           (1)
      где ( b0 , b1 ,..., bp ) - вектор параметров модели (коэффициенты).
      Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом
определить значения параметров b .
     В этом случае метод наименьших квадратов сводится к следующему.
Наилучшими будут те значения параметров b , при которых сумма квадратов
                                       ^
отклонений расчетных величин y ( х , b ) от опытных у ( х ) окажется наименьшей.
     Учитывая, что при нахождении параметров количество экспериментов n
постоянно, степень близости модели и объекта будет оцениваться величиной:
                                                                            ∧       2
                                           n          n
                               S (b) = ∑ ε = ∑ [ y j ( x j ) − y j ( x j , b]
                                                  2
                                                  j
                                                                                            (2)
                                           j =1       j =1


     Таким образом, в методе наименьших квадратов параметры находятся из
условия:
                                     S(b ) → min,
      т.е. являются решением задачи минимизации суммы квадратов невязки
(этим и объясняется название метода).
      Покажем, как решается эта задача.
      Пусть функция задана в общем виде (I). Структуру модели, входящие в нее
входные координаты или функции от них, можно затем уточнить. Запишем
условия всех опытов в виде таблицы матрицы плана эксперимента:




                                                      7