Физико-технические основы проектирования зданий и сооружений. Демин О.Б. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
2
x
t
c
t
∂
∂
γ
λ
=
τ∂
∂
. (8)
Выражение (5) представляет собой дифференциальное уравнение теплопроводности для неустано-
вившегося во времени теплового потока.
В общем случае, когда тепловой поток распространяется по трем направлениям, оно может быть запи-
сано как
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
γ
λ
=
τ∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
c
t
. (9)
Входящее в уравнение соотношение величин λ/cγ = а – называется коэффициентом температуро-
проводности материала и характеризует скорость выравнивания температур в различных точках тела.
Чем больше величина а, тем скорее все точки какого-либо тела при его остывании или нагреве достиг-
нут одинаковой температуры.
При стационарных условиях теплопередачи, когда температура не меняется во времени, уравнение
(9) имеет вид
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
t
y
t
x
t
(10)
и носит название уравнение Лапласа.
Уравнение дает возможность описать трехмерное температурное поле в ограждениях. Физический
смысл его состоит в том, что сумма изменений количества тепла, поступающего к любой рассматривае-
мой точке конструкции, равна нулю. Следовательно, распределение температур в нем неизменно и име-
ет установившиеся значения, отвечающие постоянным условиям воздействия внешней среды, окру-
жающей конструкцию.
Для большинства практических расчетов достаточно исследовать плоские температурные поля (в
плане или разрезе конструкции). Для двухмерных полей уравнение (10) имеет вид
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
t
x
t
. (11)
При одномерной задаче (передача тепла через плоскую стенку из однородного материала) уравне-
ние записывается как
0
2
2
=
∂
∂
x
t
. (12)
Решая уравнение (12) при условии задания температур на границах стенки как на рис. 2, можно по-
лучить расчетные формулы (3) и (4), найденные ранее на основе закона Фурье.
Путем интегрирования уравнений (8) – (12) можно получить решения, позволяющие описывать
распространение тепла в материальных средах ограждающих конструкций зданий. Так как дифферен-
циальные уравнения в общем случае имеют бесконечное множество решений, для получения конкрет-
ного решения необходимо задание условий однозначности: начальных временных и граничных (про-
странственных условий).
Начальные условия задаются при решении нестационарных задач с использованием уравнений (8) и
(9). Поскольку эти уравнения первого порядка по переменной τ, достаточно задания в начальный мо-
мент времени некоторой функции температур
)0,,,(
0
zyxft
=
. (13)
На практике чаще всего встречаются нестационарные задачи с простым начальным условием
const)0,,,(
0
=
=
tzyxt . (14)
К подобному условию сводятся, например, начальные условия вывода ограждения их установивше-
гося стационарного режима, когда известно постоянное во времени распределение температур по объе-
му конструкций, в режиме прогрева или охлаждения.
Кроме начальных условий при решении уравнений (8) и (9) необходимо также задание граничных
условий:
Граничные условия 1 рода устанавливают распределение температур на поверхности ограждения
и их изменение во времени. Эти граничные условия задаются крайне редко, поскольку обычно темпера-
туры поверхности является искомой величиной.

Страницы