Прикладная механика. Практические расчеты. Демин О.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

используя метод сечений, составляя уравнения равновесия суммы проекций на ось бруса (Z) всех сил, действующих на отсе-
ченную часть.
Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.
Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних
нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными
напряжениями зависимостью:
∫
σ=
F
dFN
,
где σ – нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dF; F –
площадь поперечного сечения бруса.
Произведение
dNdF =σ представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.
Значение продольной силы
N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений. Для на-
хождения напряжений в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.
В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нор-
мальные напряжения
, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения:
F
N
=σ
.
Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) стро-
ится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его
оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил
(она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в
частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет
скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных
сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений.
Под действием силы
Р брус удлиняется на некоторую величину ∆l, которая называется полным (или абсолютным) уд-
линением (
абсолютной продольной деформацией):
l
l∆
=ε
.
Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела
пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:
EF
N
=ε
,
где N – продольная сила в поперечных сечениях бруса; F – площадь поперечного сечения бруса; Е – коэффициент, завися-
щий от физических свойств материала.
Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса
FN
=
σ
, получаем
Eσ=ε
. Откуда
E
ε
=
σ
.
Абсолютное удлинение бруса выражается формулой
EF
Nl
ll =ε=∆
.
Более общей является следующая формулировка закона Гука: относительная продольная деформация прямо пропор-
циональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и
сжатия брусьев, но и в других разделах курса.
Величина
Е называется модулем упругости первого рода. Это физическая постоянная материала, характеризующая его
жесткость. Чем больше значение
Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Модуль упругости
выражается в тех же единицах, что и напряжение, т.е. в паскалях (Па).
Произведение
EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.
Кроме продольной деформации, при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также попе-
речная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении – уменьшаются. Если по-
перечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил
Р обозначить B, а после приложения этих сил B – ∆B, то ве-
личина
∆B будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса.
Отношение
ε′ = ∆B / B является относительной поперечной деформацией.
Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформация
прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет обратный знак:
µε−=ε
′
.
Коэффициент пропорциональности µ зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной дефор-
мации
(или коэффициентом Пуассона) и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продоль-
ной, взятое по абсолютной величине, т.е. коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости
Е характеризует упругие свой-
ства материала.

Страницы