Составители:
Рубрика:
один из них равен нулю
1
.
Теорема 1. Если K – область целостности, то кольцо поли-
номов K[x] – тоже область целостности.
Д о к а з а т е л ь с т в о приводить здесь не будем.
2. Схема Хорнера (и теорема Безу)
Здесь кратко напомним схему Хорнера и теорему Безу.
Определение 1. Если для полиномов P (x) и Q(x) из K[x] су-
ществует такой полином H(x) ∈ K[x], что
P (x) = Q(x)H(x), (2.1)
то говорят, что P (x) делится на Q(x) без остатка. Говорят, что P (x)
делится на Q(x) с остатком R(x), если существует H(x) такой, что
P (x) = Q(x)H(x) + R(x), deg R < deg Q. (2.2)
Нас будет интересовать деление на Q(x) = x − c,
P (x) = (x −c)H(x) + r, r ∈ K. (2.3)
Теорема 2. Если P (x) = a
0
x
n
+ . . . + a
n
∈ K[x] и c ∈ K, то
найдутся полином H(x) ∈ K[x] и r ∈ K такие, что
P (x) = (x −)H(x) + r. (2.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем искать H(x) в форме b
0
x
n−1
+
. . . + b
n−1
. Сравнение коэффициентов в равенстве
a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n
=
= (x − c)(b
0
x
n−1
+ b
1
x
n−2
+ . . . + b
n−1
) + r
показывает равносильность его цепочке равенств
a
0
= b
0
,
a
1
= b
1
− b
0
c,
1
Вспомнить определение кольца. Привести примеры некоммутативного кольца, а также
кольца, не являющегося областью целостности.
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
