Составители:
Рубрика:
называется примитивным корнем n-ой степени из единицы. Эле-
менты
ω
0
, ω
1
, . . . , ω
n−1
(3.3)
называются корнями n-ой степени из единицы.
Пример. Если K – кольцо комплексных чисел, то ω = e
2π i
n
при-
митивный корень n-ой степени из 1.
Пусть a = (a
0
, a
1
, . . . , a
n−1
)
T
– n-мерный вектор-столбец с эле-
ментами из кольца K.
В дальнейшем для удобства будем буквой n обозначать элемент
n · 1 из кольца K (n · 1 = 1 + 1 + . . . + 1
| {z }
n
) и будем считать, что
элемент
1
n
def
=
(n · 1)
−1
существует и лежит в кольце K.
Рассмотрим квадратную матрицу A с элементами
A[i, j] = ω
ij
, i, j = 0, 1, . . . , n − 1. (3.4)
Определение 3. Пусть матрица A определена формулой (3.4).
Дискретным преобразованием Фурье вектора a называется вектор
ba = (ba
0
, ba
1
, . . . , ba
n−1
)
T
, получаемый по формуле
ba = Aa. (3.5)
Операция перехода от вектора a к вектору ba носит название (опе-
рации) дискретного преобразования Фурье.
Обозначим её F , так что
ba = F (a). (3.6)
Лемма 1. Матрица A обратима и элементы B[i, j] обратной
матрицы B = A
−1
даются формулой
B[i, j] =
1
n
ω
−ij
. (3.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Символ Кронекера (в кольце K)
обозначим δ
ij
, т.е. положим
δ
ij
=
0, i 6= j,
1, i = j
.
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
