Составители:
Рубрика:
3) достаточно сложно найти предтавление в виде суммы про-
стейших дробей.
Заметим, что некоторые интегралы от рациональных дробей лег-
ко находятся без использования представления (2.1). Например,
очевидно
Z
8x
7
+ 2x + 1
x
8
+ x
2
+ x
dx = ln |x
8
+ x
2
+ x| + C,
Z
5x
4
+ 60x
3
+ 255x
2
+ 450x + 274
x
5
+ 15x
4
+ 85x
3
+ 225x
2
+ 274x + 120
dx =
= log(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + C,
Z
5x
4
+ 1
(x
5
+ x + 1)
2
dx = −
1
x
5
+ x + 1
,
Z
5x
4
+ 1
x
5
+ x + 1
dx = log(x
5
+ x + 1).
Приведённые примеры показывают, что даже в тех случаях, когда
знаменатель не разлагается над полем Q, иногда возможно прове-
сти интегрирование.
Отсюда вытекает задача: найти алгоритм интегрирования раци-
ональных функций, который работает только с теми алгебраиче-
скими величинами, которые необходимы для отыскания интеграла.
3. Разложение на свободные от квадратов множители
Пусть P (x) – многочлен из кольца R[x], где R – область це-
лостности нулевой характеристики (например, колцо целых чисел
Z), где P (x) имеет вид
P (x) =
n
Y
i=1
(x − a
i
)
n
i
, (3.1)
где n
i
– натуральные числа, a
i
– корни многочлена, являющиеся
алгебраическими величинами над кольцом R.
Произведение первых степеней сомножителей (x−a
i
) кратности
j обозначим P
(j)
(x), так что
P
(j)
(x) =
Y
i
i∈{1,...,n},
n
i
=j
(x − a
i
), j = 1, 2, . . . , max
i=1,...,n
n
i
. (3.2)
84
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
