Компьютерная алгебра. Системы аналитических вычислений. Демьянович Ю.К. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Очевидно
P (x) =
max
i=1,...,n
n
i
Y
j=1
P
j
(j)
(x). (3.3)
Покажем, что получение многочленов P
(j)
(x) (а тем самым и
разложения (3.3)) не требует выхода из кольца R (т.е. при постро-
ении многочленов P
(j)
не требуется использовать алгебраические
величины над кольцом R, в том числе не требуются и корни a
i
многочлена P(x)).
Из формулы (3.1) ясно, что производная многочлена P (x) имеет
вид
P
0
(x) =
n
X
i=1
n
i
(x − a
i
)
n
i
−1
n
Y
j=1
i6=j
(x − a
j
)
n
j
. (3.4)
Каждое слагемое в (3.4) делится на произведение
n
Y
j=1
(x − a
j
)
n
j
−1
, (3.5)
а на степень (x − a
j
)
n
j
делятся все слагаемые кроме одного, j =
1, . . . , n. Отсюда ясно, что (3.5) представляет НОД(P, P
0
),
R
def
=
НОД(P, P
0
) =
n
Y
j=1
(x − a
j
)
n
j
−1
. (3.6)
Из (3.1) и (3.6) следует, что
Q
def
=
P/НОД(P, P
0
) =
n
Y
j=1
(x − a
j
). (3.7)
Далее, найдём
НОД(Q, НОД(P, P
0
)) =
Y
j∈{1,...,n}
n
j
>1
(x − a
j
). (3.8)
Из (3.7) и (3.8) получим
P
(1)
(x) = Q/НОД(Q, НОД(P, P
0
)) =
Y
j∈{1,...,n}
n
j
=1
(x − a
j
). (3.9)
85

Страницы