Составители:
Рубрика:
Этот метод позволяет определять рациональную часть интегра-
ла рациональной функции без использования дополнительных ве-
личин (т.е. без выхода из поля, где лежат коэффициенты интегри-
руемой функции).
Пусть рассматривается интегрирование правиль- ной рациональ-
ной дроби P (x)/Q(x), причём многочлен Q(x) представлен разло-
жением на свободные от квадратов множители вида
Q(x)
n
Y
i=1
Q
i
(i)
(x), (5.1)
где многочлены Q
(i)
(x) взаимно просты и представляют собой про-
изведения первых степеней всех биномов вида x−a
j
, где a
j
– корни
Q(x) кратности i (см. пункт 3 этого параграфа). Можно показать,
что в этом случае справедливо представление
P (x)
Q(x)
=
n
X
i=1
P
i
(x)
Q
i
(i)
(x)
, (5.2)
которое называется разложением на простейшие, ибо знаменатели
дробей в сумме взаимно просты.
Итак, дело сводится к интегрированию дробей вида P
i
/Q
i
(i)
. Ис-
пользуем тождество Безу по отношению к (взаимно простым!) мно-
гочленам Q
(i)
и Q
0
(i)
,
aQ
(i)
+ bQ
0
(i)
= 1. (5.3)
Тогда можно написать
Z
P
i
(x)
[Q
(i)
(x)]
i
dx =
Z
P
i
(x)[aQ
(i)
+ bQ
0
(i)
]
Q
i
(i)
dx =
=
Z
aP
i
Q
i−1
(i)
dx +
Z
bP
i
Q(i)
0
Q
i
(i)
dx. (5.4)
Используя интегрирование по частям в последнем интеграле, най-
дём (при i 6= 1)
Z
bP
i
Q
0
(i)
Q
i
(i)
dx =
Z
bP
i
−i + 1
Q
−i+1
(i)
=
89
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
