Составители:
Рубрика:
=
1
−i + 1
(
bP
i
Q
−i+1
(i)
−
Z
bP
i
)
0
Q
i−1
(i)
dx
)
. (5.5)
Из (5.4) и (5.5) видно, что удалось понизить на единицу степень
с которой входит функция Q
(i)
в знаменатель подынтегральной
функции. Можно продолжать таким образом дальше, пока степень
Q
(i)
в знаменателе окажется равной единице; нетрудно установить,
что оставшийся интеграл будет равен сумме логарифмов.
6. Метод Горовица
Метод Эрмита имеет довольно сложный алгоритм (в него вклю-
чены алгоритмы разложения на свободные от квадратов множите-
ли, разложение на простейшие дроби, тождество Безу) и потому его
сложно запрограммировать. Поэтому рассмотрим метод Горовица.
Задача прежняя: представить
R
P/Q dx в виде
Z
P/Q dx = P
1
/Q
1
+
Z
P
2
/Q
2
dx, (6.1)
где оставшися интеграл представляется в виде суммы логарифмов.
Из предыдущего пункта следует, что многочлен Q
1
имеет те же
множители, что и Q, но с показателями, уменьшенными на едини-
цу, что многочлен Q
2
не имеет кратных сомножителей и что его
сомножители – все сомножители полинома Q.
Из пункта 3 следует, что Q
1
= НОД(Q, Q
0
), и что Q
2
= Q/НОД(Q, Q0).
Тогда из определения первообразной имеем
P
Q
=
P
1
Q
1
0
+ P
2
/Q
2
=
P
0
1
Q
1
−
P
1
Q
0
1
Q
2
1
+
P
2
Q
2
=
=
P
0
1
Q
2
− P
1
Q
0
1
Q
−1
1
Q
2
+ P
2
Q
1
Q
. (6.2)
Очевидно многочлен Q
0
1
Q
2
делится на Q
1
без остатка (ясно что
отношение Q
1
0/Q
1
может быть представлено в виде суммы дробей,
в знаменателях которой содержатся лишь первые степени биномов
x−a
i
, где a
i
– корень многочлена Q, а Q
2
– произведение всех таких
биномов). Обозначая результат деления через S, из (6.2) приходим
к соотношению
P
0
1
Q
2
− P
1
S + P
2
Q
1
= P. (6.3)
90
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
