Составители:
Рубрика:
Здесь неизвестными следует считать P
1
и P
2
. Заметим, что сте-
пени многочленов P
1
и P
2
меньше степеней m и n многочленов Q
1
и Q
2
соответственно, так что
P
1
=
m−1
X
i=0
a
i
x
i
, P
2
=
n−1
X
i=0
b
i
x
i
.
Соотношение (6.3) записывается в виде системы m + n уравнений с
m + n неизвестными, которая имеет единственное решение. Таким
образом задача представления (6.1) решена.
7. Обработка логарифмической части
Вычисление второго слагаемого правой части (6.1) состоит в раз-
ложении Q
2
на множители, что после интегрирования приводит
в конечном счёте к логарифмическим слагаемым. Основная про-
блема в том, чтобы найти интеграл без использования каких-либо
алгебраических чисел, кроме тех, которые необходимы для записы-
вания результата. Вместо P
2
/O
2
будем дальше писать P/Q.
Предположим, что
Z
P
Q
dx =
n
X
i=1
c
i
log v
i
, (7.1)
где в правой части используется наименьшее алгебраическое рас-
ширение, c
i
– константы, v
i
– рациональные функции. v
i
= P
i
/Q
i
.
Поскольку log P
i
/Q
i
= log P
i
− log Q
i
, то можно считать, что
v
i
– многочлены. Посколку каждый многочлен можно представить
разложением на свободные от квадратов множители, то можно счи-
тать, что v
i
– взаимно просты (пока что упомянутое выше мини-
мальное расширение сохраняется). Кроме того, будем считать, что
все c
i
различны (одинаковые можно объединить).
Дифференцированием (7.1) найдём
P
Q
=
n
X
i=1
c
i
v
0
i
v
i
. (7.2)
Ввиду сказанного (v
i
свободны от квадратов, взаимно просты и
никакой элемент суммы не может быть упрощён) ясно, что сокра-
щений в (7.2) нет. Отсюда v
i
совпадают с делителями многочлена
91
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
