Составители:
§ 5. Погрешности вычисления значений функции
1. Функции одной переменной. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции
()
y fx=
,
вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента А
х
, оценивается величиной
'( )
yx
fx∆= ∆
(1.8)
Если значения функции f(x) положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка
[ ]
'( )
ln ( ) '
()
yx x
fx
fx
fx
δ
= ∆= ∆
(1.9)
В частности, для основных элементарных функций получаем следующие правила.
а) Степенная функция
a
yx=
. Абсолютная погрешность степенной функции равна
1a
yx
ax
−
∆= ∆
(1.10)
Относительная погрешность степенной функции равна
yx
a
δδ
=
(1.11)
Например, относительная погрешность квадрата х
2
вдвое больше относительной погрешности основания х,
относительная погрешность квадратного корня
x
вдвое меньше относительной погрешности подкоренного числа
х, относительная погрешность обратной величины 1/х равна относительной погрешности самого числа х.
б) Показательная функция
x
ya=
( 0)
a
>
. Абсолютная погрешность показательной функции равна
ln
x
yx
aa∆ = ⋅∆
(1.12)
Относительная погрешность показательной функции равна
ln
yx
a
δ
= ∆
(1.13)
Заметим, что здесь относительная погрешность функции пропорциональна абсолютной погрешности аргумента.
Для функции у = е
х
отсюда получаем
yx
δ
= ∆
(1.14)
в) Логарифмическая функция
lnyx=
.
Абсолютная погрешность натурального логарифма числа равна
относительной погрешности самого числа:
1
y xx
x
δ
∆= ∆=
(1.15)
Для десятичного логарифма
lgyx=
имеем
0,4343
yx
δ
∆=
(1.16)
откуда следует, что при расчетах с числами, имеющими т верных знаков, надо пользоваться (т+1)-значными
таблицами логарифмов.
г) Тригонометрические функции. Абсолютные погрешности синуса и косинуса не превосходят абсолютных
погрешностей аргумента:
sin
cos
x xx
x∆ = ∆ ≤∆
cos
sin
x xx
x∆ = ∆ ≤∆
(1.17)
Абсолютная погрешность тангенса и котангенса всегда больше абсолютной погрешности аргумента:
2
(1 )
tgx x x
tg x∆ = + ∆ ≥∆
,
2
(1 )
ctgx x x
ctg x∆ = + ∆ ≥∆
(1.18)
П
РИМЕР 1.8. Диаметр круга, измеренный с точностью до 1 мм, оказался равным d = 0,842 м. Вычислить
площадь круга.
Решение. Площадь круга
2
/4
Sd
π
=
. Так как число π мы можем взять для расчета с любой точностью, то
погрешность вычисления площади определяется погрешностью вычисления. Относительная погрешность d
2
равна
2
1
2 2 0,24%
842
d
d
δδ
==⋅=
.
Чтобы при округлении числа π не увеличить относительную погрешность
2
4
Sd
π
δδ δ
= +
,
надо взять число π по крайней мере с четырьмя верными знаками, еще лучше с пятью. Тогда получим
2
3,1416
0,842
4
S = ⋅
м
2
= 0,7854-0,7090 м
2
= 0,5568 м
2
.
Абсолютная погрешность результата составляет
0,557 0,0024 0,0014
SS
S
δ
∆= = ⋅ =
.
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
